Гравитация Том 1 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
T1 puP = 0 = — (плотность импульса) = — dp}/dV,
а также
T}h — T (Bj, Bh) = pbjh = компоненты тензора напряжений.
В. Сохранение энергии-импульса
В электродинамике сохранение заряда может быть выражено в форме дифференциального уравнения
д (плотность заряда)/д? + V -(плотность тока) = О,
т. е. y°,0-fV 'J=Q, или Ja,а = 0, т. е. V-J = 0. Подобным же образом сохранение энергии-импульса можно выразить в форме фундаментального геометрического закона
VT = 0.
(Так как тензор T симметричен, неважно, по какому каналу вычисляется дивергенция.) Этот закон играет важную роль в теории тяготения.
Остальная часть этой главы относится к курсу 2.
Ее содержание не зависят от предыдущего материала курса 2.
Она нужна в качестве подготовительного материала для гл. 20 (законы сохранения массы и момента импульса).
Она исключительно полезна во всех приложениях теории тяготения (гл. 18—40).
§ 5.2. ТРЕХМЕРНЫЕ ОБЪЕМЫ И ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕНЗОРА ЭНЕРГИИ-ИМПУЛЬСА
В пространстве-времени течет «река» 4-импульса. Каждая частица несет вдоль своей мировой линии вектор своего 4-импульса. Множество частиц на множестве мировых линий, если представлять их размазанными (приближение континуума), создают течение континуума —«реку» 4-импульса. Электромагнитные поля, ней-
§ 5.2. 3-объемы и определение тенаора энергии-импульса 175
2
тринные поля, мезонные поля — все они тоже дают вклад в эту «реку».
Как можно количественно описать течение этой «реки»? С помощью линейной машины — тензора энергии-импульса Т.
Выберем в пространстве-времени малый трехмерный параллелепипед с векторами А, В, С в качестве ребер (фиг. 5.1). Зададимся вопросом: какое количество 4-импульса пересекает этот объем в положительном направлении (т. е. в направлении от его «отрицательной стороны» к его «положительной стороне») ? Чтобы
л ¦ М&ТвНАТИЧбОВОб
получить ответ, ВЫПОЛНИМ следующие операции. 1. Построим представление
«1-форму объема» «-овъемов
S11=+8 ^afiyAaBpCv; (5.1)
наш параллелепипед расположен на одной из поверхностей 1-формы, а положительное направление, перпендикулярное параллелепипеду, определено таким образом, что совпадает с положи-
ФИГ. 5.1.
«Река» 4-импульса, текущая в пространстве-времени, и три различных 3-объема, сквозь которые она протекает. (На фигуре недостает одного измерения, поэтому 3-объемы выглядят как 2-объемы.) Первый 3-объем представляет собой внутреннюю часть кубической мыльницы, которая в данный момент покоится в изображенной лоренцевой системе. Ее ребрами являются Lex, Ley, Lez, а 1-форма ее объема, «положительно» ориентированная в сторону будущего («стандартная ориентация») есть 2 = L3it = — Fu (F = Lex — объем, измеренный в системе покоя, и = —d< — 4-скорость мыльницы). Второй 3-объем представляет собой «мировую полосу», заметаемую за время At крышкой второй кубической мыльницы. Ребрами крышки являются Lex и Lez, а 1-форма ее объема, «положительно» ориентированная наружу от мыльницы в направлении растущих у, есть 2 = L2Ailhy = ^fAia (Л = L2 — площадь крышки мыльницы; а = йу — единичная 1-форма, содержащая мировую полосу). Третий 3-объем выбран произвольно; его ребрами являются А, В, С, а 1-форма объема есть = вРа(}у<4aB^Cv.
2
176 Temop анергии-импульса и ваконы сохранения
Нахождение
импульса,
нереоекающего
8-объем,
с помощью
теиаора
энергии-
импульса
Внутренняя часть мыльницы
!•форма ее объема
4-импульс, которым она обладает
тельным направлением 1-формы 2. 2. Введем 1-форму этого объема во второй канал тензора энергии-импульса Т. В результате получим
/импульс, пересекающий 3-объем от\
T (..., 2) = р = I отрицательной стороны к положи- ]• (5.2) f Чтельной стороне /
пустой канал
3. Чтобы получить проекцию 4-импульса на вектор W или 1-форму се, введем 1-форму объема 2! во второй канал, a W или а — в первый:
T (w, 2) = w • р, T (о, 2) = (а, р). (5.3)
Это и есть определение тензора энергии-импульса.
Важнейшие свойства 3-объемов и тензора энергии-импульса полностью отражены в изложенной выше трехэтапной процедуре. Однако нельзя ограничиться подобной краткой сводкой: необходимо также и глубокое понимание. Для достижения такого понимания необходимо изучить частные случаи 3-объемов и тензора энергии-импульса.
Частный случай
В пространстве-времени движется мыльница. В событии P0 на мировой линии мыльницы в нее заглядывает человек и тщательно исследует все мыло, воздух и электромагнитные поля, которые в ней содержатся. Он складывает их 4-импульсы и получает полный 4-импульс Рмыльницы в ^0- Какова величина этого полного 4-импульса? Ее можно вычислить, если учесть, что 4-импульс, которым обладает мыльница в P0, в точности равен 4-импульсу, пересекающему мыльницу в направлении из прошлого в будущее в этой точке (фиг. 5.1). Следовательно, 4-импульс, измеренный нашим исследователем, равен
Рмыльницы в &0~ T (• 2), (5.4)
где 2 есть 1-форма объема мыльницы в точке P0. Ho у такой мыльницы величина 2! равна ее объему V, измеренному в системе, в которой она в данный момент покоится, а сама мыльница лежит в одной из гиперплоскостей 2; другими словами,
