Гравитация Том 1 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
S=-Vu, (5.5)
где и есть 4-скорость мыльницы в P0 (со знаком минус, так как если под U понимается 1-форма, то положительным направлением для нее является направление в прошлое, и0 <0); см. дополнение 5.2. Следовательно, полный 4-импульс, которым обладает мыльница, равен
Pb—= -Vu)------VT<...,u). (5.6)
§ 5.2. 3-объемы и определение тензора знергии-импульса 177
2
или в компонентных обозначениях
(р*) а, = -VTafiUfi. (5.6')
'мыльницы В “ о р
Энергия внутри мыльницы, измеренная в ее системе покоя, равна проекции 4-импульса на 4-скорость мылышцы, взятой с обратным знаком:
Е= ~и Риыльющы+ == VT(U, U);
итак
(ПЛОТНОСТЬ энергии, \ „ Плотность
r I К — . . /С -7\ энергии в ней
измеренная в системе I = — =T (и, и). (5.7)
ПОКОЯ МЫЛЬНИЦЫ /
Еще один частный случай
Человек, едущий с той же мыльницей, открывает крышку и отливает немного мыла. Какое количество полного 4-импульса вытекает из мылышцы за очень малый промежуток времени Дт? Чтобы ответить на этот вопрос, рассмотрим трехмерный объем, «заметаемый» за время At открытой двумерной крышкой мылышцы («мировая полоса крышки»). Искомый 4-импульс равеп 4-импульсу, пересекающему эту мировую полосу в положительном направлении (фиг. 5.1); следовательно, он равен
Рвытекший = T (•.., 2), (5.8)
где 2 есть 1-форма объема мировой полосы. Пусть S — площадь крышки мылышцы, а 0 — единичная 1-форма, ориентированная наружу, одной из поверхностей которой принадлежит мировая полоса (т. е. принадлежит крышка мылышцы и мгновенное значение ее 4-скорости). Тогда
2 = Л Axa (5.9)
(см. дополнение 5.2); таким образом, 4-импульс, вытекший за время At, равен
Рвытекший = <ЛАі\ (..., о). (5.10)
Крышка
мыльницы
фор I ооъ<
4-импульс, который через нее протекает
Дополнение 5.2. ТРЕХМЕРНЫЕ ОБЪЕМЫ
А. Параллелепипед в общем случае
1. Ребрами параллелепипеда являются три вектора А, В, С. Ребра должны быть упорядочены, например: «за А следует В, за В следует С».
2. Тривектор объема определяется как А Д В Д С. Он употребляется в более сложной теории объемов (гл. 4) и почти не используется в элементарной теории.
12-01457
2
178 S. Temop анергии-импульса и вакони сохранения
(Здесь отсутствует одно измерение, ортогональное параллелепипеду.)
Положительное
напранлоние
(Здесь отсутствует одно измерение, простирающееся вдоль С.)
3. 1-форма объема определяется как 2 u = = ZfutQyAaBiCv. (А, В, С должны следовать здесь в установленном порядке, который выбран в пункте 1.) Отметим, что вектор, «соответствующий» 2, и тривектор объема связаны соотношением S = — *(А Д В А С).
4. Ориентация объема определяется таким образом, чтобы она совпадала с ориентацией соответствующей ему 1-формы 2. Точнее, ребра А, В, С лежат в гиперплоскости
2 (<2, А > = <2, В > = (StC) = O; ни одного «удара колокола»). Таким образом, сам объем является одной из гиперплоскостей 2! Положительным направлением, выходящим из объема, по определению является положительное направление 2. Примечание. Изменение порядка А, В, С приводит к изменению положительного направления!
5. При «стандартной ориентации» пространственноподобных 3-объемов положительным направлением 1-формы 2 является направление в будущее, что соответствует такому порядку А, В, С, при котором они образуют правую тройку векторов.
Б. 3-объемы произвольной формы
Они могут быть проанализированы с помощью разбиения на параллелепипеды
В. Внутренняя часть мыльницы (пример)
1. Анализ в системе, где мыльница покоится. Выберем событие на мировой линии мыльпицы. В нем три ребра мыльницы представляют собой три определенных вектора А, В, С. В системе покоя мыльницы они являются чисто пространственными: A0 = B0 = C0 = 0. Следовательно, у 1-формы объема компоненты = 0, а
Ai Ai A3
S0 = RoljkAiBiCk = det
Bi
Ct
Bt
C2
B9
C3
= A (В X С) в обычных обозначениях трехмерного векторного анализа;
= +V (V — объем мыльницы), если (А, В, С) — правая тройка
(положительным направлением 2 является направление в будущее; стандартная ориентация);
= —V (F — объем мыльницы), если (А, В, С) — левая тройка
(положительным направлением 2 является направление в прошлое).
§ 5.3. Компоненты тензора анергии-импульса 179
2. Этот результат, на геометрическом языке выражается следующим образом. Пусть и — 4-скорость мыльницы, а V — ее объем, измеренный в ее системе покоя. Тогда либо
S=-Vu
в в этом случае «положительной стороной» 3-поверхноств мыльницы является будущая сторона, а ее ребра упорядочены так, что образуют правую тройку (стандартная ориентация), либо
S = + Vu
и в этом случае «положительной стороной» является прошедшая сторона, а ребра мыльвицы упорядочены так, что образуют левую тройку.
Г. 3-объем, заметаемый 8а время At двумерной крышкой мыльницы (пример)
1. Анализ в системе, где мыльница покоится. Выберем событие на мировой линии мыльницы. Два ребра крышки мыльницы представляются в нем двумя векторами А и В. В системе покоя мыльницы направим пространственные оси так, чтобы А и В лежали в плоскости у, z. За промежуток собственного времени At крышка мыльницы заметает 3-объем, третьим ребром которого является иДт (и — 4-скорость мыльницы). В системе покоя мыльницы при соблюдении порядка «за А следует В, за В следует иДт» 1-форма объема имеет компоненты
