Гравитация Том 1 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
§ 4.7. Действие на расстоянии — следствие локального закона 171
2
8. Пусть X, Y, Z — функции прямоугольных координат х, у, z, dS — элемент произвольной ограниченной поверхности, Z, т, п — косинусы углов между нормалью к dS и осями, ds — элемент кривой, ограничивающей поверхность. Покажите, что
где дифференциальные коэффициенты X, Y, Z являются частными, а однократный интеграл берется по всему периметру поверхности.
Эта теорема была очень важна для последующего развития Максвеллом электромагнитной теории. Наиболее ранним явным доказательством теоремы, по-видимому, является то, которое приведено в письме Томсона Стоксу, датированном
2 июля 1850 г.» (Цитируется в работе [ИЗ], стр. 186—187.)
I
5. ТЕНЗОР ЭНЕРГИИ-ИМПУЛЬСА И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
§ 5.1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ, ОТНОСЯЩИЕСЯ К КУРСУ 1
«Геометрия указывает материи, как двигаться, а материя указывает геометрии, как искривляться». Однако изучение кривизны (часть III) и закона Эйнштейна, описывающего, как эта кривизна создается энергией-массой (часть IV), не даст никакой пользы, пока мы не найдем способа определять, сколько энергии-массы содержится в единице объема. А это можно сделать лишь с помощью тензора энергии-импульса. Именно на нем концентрируется внимание в данной главе.
Основные свойства тензора энергии-импульса кратко изложены в дополнении 5.1, предназначенном для читателя, который хочет как можно скорее перейти к физике гравитации. Такой читатель может сразу после дополнения 5.1 приступить к изучению гл. 6, но сделав это, он лишит себя возможности ознакомиться с некоторыми последующими разделами курса 2, которые в значительной мере опираются на материал данной главы.
Дополнение 5.1. РЕЗЮМЕ ГЛАВЫ 5
А. Тензор анергии-импульса как машина
В каждом событии пространства-времени существует тензор энергии-импульса. Он представляет собой машину, которая несет в себе информацию о плотности энергии, плотности импульса и напряжениях, измеряемых всевозможными наблю-
§ 5.1. Предварительные замечания
173
I
дателями в данном событии. Сюда входят энергия, импульс и напряжения, связанные со всеми видами вещества и со всеми негравитационными полями.
Тензор энергии-импульса является линейной симметричной машиной с двумя каналами для ввода двух векторов: T (. . ., . . .). То, что получается на его выходе при заданных входных данных, можно кратко описать следующим образом.
1. Введем в один из каналов 4-скорость наблюдателя и, оставив другой канал свободным. На выходе получим
плотность 4-импульса df/dV, т. е. 4-импульс ч единицы трехмерного объема, измеренный I , в лоренцевой системе наблюдателя F событии, I ’ в котором взят T /
т. е. = Т$аи& = — {dJf1IdV) для наблюдателя с 4-скоростью и®.
2. Введем 4-скорость наблюдателя в один канал и произвольный единичный вектор п в другой. На выходе получим
/компонента n-dp/dV плотности 4-иыпульса вдольч T (u, n) = T (п, и) = — [ направления П, измеренная в лоренцевой системе J ;
' наблюдателя '
Т. е. TafiUanP = TapnaU^ =—Tlu dp»IdV.
3. Введем 4-скорость наблюдателя в оба канала. На выходе получим плотность энергии-массы, измеренную этим наблюдателем в собственной лоренцевой системе:
(энергия-масса единицы объема, измеренная в системе,\ обладающей 4-скоростью и /
4. Выберем конкретного наблюдателя и два пространственноподобных базисных вектора в; и Bh его лоренцевой системы. Введем в/ и Bk во входные каналы Т. На выходе получим /,й-компоненту напряжений, измеренную этим наблюдателем;
^ = Т|(ву, eft) = 2^ = 1(6^, В]) =
/-компонента силы, действую-\ / й-компонента силы, действую-\
щей со стороны Xfe — е на I / щей со стороны х3 — е на |
материю в области Xft + е I = I материю в области аг' + е через единичную площадку I I через единичную площадку
с перпендикуляром Bh / \ с перпендикуляром Bj J
Б. Тензор энергии-импульса идеальной жидкости
Одним из видов материи, который широко изучается в последующих главах этой книги, является «идеальная жидкость». Идеальная жидкость представляет собой жидкость или газ, которые 1) движутся в пространстве-времени с 4-скоростью и, которая может меняться от события к событию, и 2) обладают плотностью энергии-
2
174 5. Тензор энергии-импульса и законы сохранения
массы р и изотропным давлением р в системе покоя каждого элемента жидкости. Сдвиговые напряжения, анизотропное давление и вязкость должны отсутствовать, в противном случае жидкость не идеальна. Тензор энергии-импульса идеальной жидкости в данном событии можно построить, используя метрический тензор д, 4-скорость и, плотность р и давление р в системе покоя:
T = (р + р) u ® u + рд, или Jafj = (р + р) UaUfi + pgafi.
В системе, где жидкость покоится, компоненты этого тензора энергии-импульса имеют требуемый вид (чтобы убедиться в этом, надо лишь ввести во входной канал T в качестве 4-скорости наблюдателя 4-скорость жидкости):
JepuP = [(р + р) uaufi + р8“э] иР = — (р + р) иа + риа = — ри“;
т.'е.
T0fiUfi= —р= — (плотность энергии-массы) = —dp0IdV,
