Курс теоретической механики Том 1 - Леви-чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
(50 —5)Х0,07 = 3,15 см
или 31,5 мм, т. е. больше, чем параметр h трения качения для дороги в хорошем состоянии. Для некоторых дорог, например покрытых гравием, h превосходит (г — р) tg щ; h достигает в таких случаях значения 70 мм и, даже при коэффициенте трения tg<p — 0,1 и при значительном радиусе колес (г = 70 см), имеем (г — p)tg<p < 70 мм.
19. Разделим обе части равенства (8) на г и положим для краткости
P Sin ? _ „
(9)
так что є и h будут отвлеченными числами, меньшими единицы. Уравнение, определяющее <|», принимает тогда вид
Будем рассматривать в этом уравнении Ф как функцию от двух параметров є и к. Применяя правило дифференцирования неявных функций, получим
df W
_дг (ty__die
дг df' ofc- <Jf" ~Щ д<\> 302
гл. xvi. относительное равновесие
m df 1 df
Так как числители = — cog ^ ,-^ = — 1 отрицательны для
всевозможных значений угла ф (заключенных между 0 и іс/2), в то время как знаменатель
df_ 1 — sin ф
oi> COS3 Ф
(ср. п. 16) положителен, то будем иметь неравенства
Ж>г> tk>°•
Таким образом .мы доказали, что угол Ф, определенный равенством (8), а вместе с ним и tgty, является возрастающей функцией как от є = р sin -і/У, так и от Jc = h/r.
Если мы вспомним, что сила тяги т выражается через ptgty, то сразу увидим, как будет изменяться величина силы тяги при изменении конструктивных данных (и параметра А). Таким образом мы приходим к следующему результату: сила тяги будет тем меньше, чем меньше будут параметр h (входящий множителем в к) и радиус ступицы р (входящий множителем в є), чем лучше смазка, т. е. чем меньше угол <р (так как є пропорционально sin <р), и, наконец, (так как в и к обратно пропорциональны г), чем более радиус колеса г.
Можно было ожидать заранее, что сила тяги возрастает с возрастанием h и «р. Не столь очевидны два другие заключения, особенно последнее; убедиться в его справедливости можно только путем точного исследования. Полученные нами результаты подтверждают известное из практики преимущество больших колес. Телеги для перевозки тяжелых грузов, которыми все еще пользуются на наших дорогах, имеют как раз два больших колеса.
20. Переходим наконец к количественному определению tg<p. Из уравнения (8') имеем
tgu— k = ° т COS ф
откуда, возводя в квадрат и принимая во внимание тождество 1/cos2 ф = 1 + tg2 ф, получаем
(1 — s2)tg2^ — 2fctg-|> + (?2-е2) = 0; разрешив это уравнение относительно tgty, получим
Те ZiZ Ylfi — (1 — є2) (?? — є2) Tczte Yl + № — S2
tg ф =
1— s2
Из двух корней уравнения, полученного путем возведения в квадрат обеих частей уравнения (8'), тот, который принадлежит также и самому уравнению (8') и, следовательно, первоначальному § 4. сопротивление калению
303
уравнению (8), должен, как мы видели, возрастать вместе с е. Поэтому следует взять корень со знаком , и мы окончательно будем иметь
''vJ^7i, (10)
где є и & определяются равенствами (9).
21. Мы уже отмечали, что величины є и к на практике получаются весьма малыми (несколько сотых, при численных данных, приведенных в п. 18). Поэтому с достаточным приближением можно пренебрегать их квадратами. Равенство (10) при этом принимает вид
= (10')
и сила тяги оказывается равной
т=.р1?ф=.р(Н-е), (10")
т. е. представляется в виде суммы двух членов: рк и .ре; первый член тот же самый, который мы имели бы, если бы сопротивление представляло собой только трение качения (качение по дороге), второй член выражает исключительно трение (скольжения) в ступице.
22. Обычно допускают, что оба эффекта складываются *), и устанавливают равенство (10"), находя отдельно:
1. pTc=ph/r, на основе закона трения качения (гл. XI, § 6) и допуская, что сила тяги приложена приближенно на высоте оси;
2. pz = рр sin в/г; это выражение получается на основании следующих рассуждений.
Предположим, что колесо подвергается действию только сил .R1, -R2 [определенных в п. 12, а) и в)]; при этом предполагается, что трение качения отсутствует. Для равновесия необходимо и достаточно, чтобы эти силы были равны и прямо противоположны, имея общей линией действия прямую, соединяющую соответствующие точки приложения А ж С. Остановимся в частности на силе Ії2. Так как сила JJ2 (п. 12) должна иметь составляющую, направленную в сторону движения, и GA есть линия действия этой силы, то необходимо, чтобы, при допущенном предположении, точка С была позади точки А (относительно направления движения). Следовательно, мы имеем первый из указанных в п. 13 случаев, что вполне естественно, так как трение качения равно нулю.
!) Ср., например, Е. Cavalli, Elementi di meccanica applicata alle maschine (Неаполь, 1908, стр. 20—23, 91—93). 304
гл. xvi. относительное равновесие
Если затем мы вспомним, что через ф обозначен угол, составляемый силой B2 с нисходящей вертикалью, откуда следует соотношение
t=j>tg«l»,
то увидим [см. фиг. 79], что такое же значение имеет угол с вершиной в точке А прямой AG (линия действия реакции -R1) с восходящей вертикалью АО.
