Курс теоретической механики Том 1 - Леви-чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
Приняв эти гипотезы, мы в качестве следствия из них получим, что притяжение Земли во внешних точках (ив частности в непосредственной близости от поверхности) оказывается таким (гл. XI, п. 22), какое мы имели бы, если бы вся масса M была сосредоточена в центре О¦ Вектор Cr вследствие этого будет направлен к О, и его величина, отнесенная к единице массы притягиваемой точки Р, будет иметь значение fM/p2, где f—постоянная тяготения и р—расстояние точки P от центра.
Заметим, что если рассматривается область вокруг какой-нибудь точки поверхности Земли с окрестностью в несколько километров, то вектор Cr, внутри этой области, будет приближенно постоянным но величине и направлению.
Действительно, так как радиус R земного шара равен приближенно 6370 км, то радиальное или трансверсальное перемещение в несколько километров очень мало изменит как величину, так и направление его. О порядке величины этих изменений дают представление следующие вычисления.
1. (Изменение направления). При перемещении по сфере радиуса R по дуге (большого круга) As угловое отклонение будет равно (в радианах) As/R, или в градусах (360/2-) • (Дs/R). Предположив, например, что As не превосходит 1 км, мы увидим, что отклонение не будет превосходить полминуты.
2. (Изменение величины.) При перемещении вдоль радиуса, начиная от p = R, на AR величина G = fM/p2 получит изменение
fM fM fM (в + д л)2 т Bi
§ 7. вес и притяжениё землёю
S15
Так как ДВ мало по сравнению с К, то, разлагая (1 -\-AR/R)-^ в ряд по формуле бинома Ньютона и останавливаясь на первом члене, мы получим для изменения G выражение
fM 2 ab.
B2
в
следовательно, по абсолютной величине, относительное изменение (т. е. отношение изменения к величине притяжения на поверхности Земли) представится в виде 2 ДВ/В, что меньше 1/1000 для высот AR, не превосходящих 3 км.
35. Обращаясь к вопросу о том, каким образом изменяется сила притяжения Cr вдоль любого меридиана, выберем систему осей Oxy (фиг. 31), расположенных в плоскости меридиана, с началом О в центре земного шара и с положительными направлениями осей Oy и Ox соответственно к северному полюсу и к меридиану (полуокружности большого круга), о котором идет речь.
Если обозначим через К широту какой-нибудь точки P меридиана, то cos А. и sin А очевидно будут направляющими косинусами радиуса-вектора OP точки P (с началом в центре О Земли), и проекции вектора G- на оси Ox и Oy будут равны
Gis = — G cos К, Gy = -G sin к, (18)
где величина G есть fM/R2, и, следовательно, не зависит от X и Йрстоянна на всей земной поверхности.
86. Точное определение х- Движение Земли предполагается Сложным, складывающимся, как известно, из равномерного вращения вокруг полярной оси ШГ (суточное вращение) и поступательного движения как неизменяемой системы, в силу которого (согласно законам Кеплера) Земля описывает в течение года вокруг Солнца эллипс, в одном из фокусов которого находится Солнце. Переносная сила инерции х будет, следовательно, суммой двух слагаемых: одного /А, происходящего от вращения, и другого /л> происходящего -от поступательного движения. Если мы обратим внимание на то, что в этом последнем движении требуется целый год для того, чтобы совершить один оборот, и что, следовательно, (для промежутков времени, малых по сравнению с периодом) движение приближенно можно рассматривать как прямолинейное и 316
гл. xvi. относительное равновесие
равномерное, то, как уже было сказано выше (н. 5), можно пренебречь вектором Х2 ')•
Таким образом остается только одно первое слагаемое Xi> т- е-центробежная сила, происходящая от суточного вращения Земли. Угловая скорость ш суточного вращения (дуга единичного радиуса, описанная в единицу времени, т. е. в секунду среднего солнечного времени) определяется, как мы знаем (гл. YII, н. 18), выражением
_ 2тс
ш ~ 86 164'
а центробежная сила, действующая на единицу массы, находящуюся на расстоянии S от полярной оси, равна шЧ. Для точки P на поверхности Земли на широте Я, очевидно, будем иметь S = R cos X, а центробежная сила будет действовать в плоскости меридиана, нерпендикулярно к полярной оси; поэтому отнисительно принятых вн. 35 осей будем иметь
Xx = «fiR cos A; X2Z = O- (19)
Численное значение величины <о2R (имеющей размерность ускорения) будет около 3,4 GMjceK^.
37. Сравнение с весом. Первое приближение. Так как наибольшее значение центробежной силы х (которое она принимает нри Х = о, т. е. на экваторе) равно 3,4 дин, то можно пренебречь ее влиянием на д и считать в первом приближении вес равным земному притяжению. При принятых гипотезах относительно внутреннего строения Земли отсюда следует, что вес тела не изменяется при перемещении из одного места в другое на земной новерхности, и что направление радиуса Земли во всякой точке совпадает с направлением нити с грузом на конце. То и другое очевидно согласуется с данными грубого опыта.
l) В связи с этим следует вспомнить, что в обращении Земли вокруг Солнца переносное ускорение (которое в силу того, что речь идет о поступательном движении, является одним и тем же для всех точек. Земли) будет несколько меньше 1 см/сек2, т. е. около одной тысячной' части от g (гл. VII, п. 18).
