Курс теоретической механики Том 1 - Леви-чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
Так как Хг Для точки с массой, равной единице, есть не что иное, как это ускорение, взятое в противоположную сторону, то мы действительно^ можем при вычислении веса, т. е. д, пренебречь им при том порядке приближения, которым мы здесь пользуемся. Даже когда требуется и большая точность, мы можем пренебречь вектором Хг> н° не потому, что вектор Хг сам по себе ничтожен, а потому, что он всегда направлен в сторону, про,: тивоположную солнечному притяжению, и поэтому компенсируется солнечным притяжением, которым мы здесь также пренебрегли (п. 33) по сравнению с земным притяжением. § 7. вес и притяжение землею
317
38. Второе приближение. Если мы примем во внимание переносную силу инерции х> т0 получим равенство
0Г=а+х, (20)
которое при дервом же взгляде разъясняет тот качественный факт (отмечаемый наблюдением), что ускорение силы тяжести д изменяется, увеличиваясь при перемещении тела от экватора к полюсам. Достаточно принять во внимание, что центробежная сила х равна нулю на полюсах (так что вес д там сводится к силе притяжения Cr) и имеет наибольшую величину на экваторе, где она направлена прямо противоположно земному притяжению G и поэтому уменьшает величину д. Между экватором и полюсом, через промежуточные параллели, изменение д идет всегда в одну и ту же сторону. Это можно установить геометрическим путем, но еще более просто можно получить его из явного выражения д через А, которое мы найдем в ближайшем пункте, рассматривая следствия из формулы (20).
Здесь же заметим, что вес д, как это следует из формулы (20), вместе с Cr и центробежной силой Xj лежит в меридианной плоскости, проходящей через рассматриваемую точку Р, и представляет собой диагональ параллелограмма (фиг. 81), построенного на векторах Cr и X- Если обозначим через -( острый угол, который направление такой диагонали (нить с грузом) образует с плоскостью экватора, то у очевидно будет (несколько) больше к. Разность "С — к называется отклонением вертикали, происходящим от вращения Земли.
39. Спроектируем равенство (20) на оси х, у, определенные в п. 35, и изменим знаки в обеих частях равенства; если мы заметим, что проекции вектора g суть—g cos -(, —g sin у и примем во внимание равенства (18) и (19), то получим
g cos "с =з (G — (u2jR)cosA, g sin f= ^sin k.
Обозначив через д0 силу тяжести на экваторе (где A = Y = O) из первой из написанных формул, мы будем иметь
g0=G — m*B,
как это уже было указано в предыдущем пункте. Если положим
где (п. 36) є есть отвлеченное число, равное немногим тысячным долям, то будем иметь
0 = АГо + ®аД = 0о(1+«) 318
гл. xvi. относительное равновесие
и проекции вектора д можно будет написать в виде
д cos Y = ^r0 cosA, д sin у = д0(1 + е) sin А; (20')
возводя равенства (20') в квадрат и складывая, получаем
<72 = gl {cos2 А + (1 + е)2 sin2 А} = gl { 1 + 2е sin2 А (і + і- •) J.
Таким образом доказано утверждение, что д изменяется, постоянно возрастая вместе с А. Если из обеих частей полученного равенства извлечем квадратный корень и разложим {1 + 2s sin2 А X
X (1 + у е/z по формуле бинома Ньютона, пренебрегая членами
второго и высшего порядков относительно є, то будем иметь
+gSin2 А). (21)
Эта формула хорошо представляет общий ход изменения силы тяжести вдоль меридиана.
Далее, переходя к более точному приближению, можно установить, что формула (21) хорошо выражает также и количественно действительное изменение д, если только величине є вместо значения ^2EiIg0 приписать подходящее числовое значение є = 0,005302 и положить д0 = 978,030 см/сек2.
40. Из равенств (20'), умножая первое на sin у, второе на cos 7 и вычитая, получим
д0 cos A sin у — д0 sin A cos у—д0е sin A cos т = 0; это равенство можно написать в виде
sin (т — А) = є sin A cos у = е sin A cos {A + (f — А)}.
Отсюда нрежде всего следует, что sin (у — А) содержит множитель є, так что, пренебрегая величиной є2, cos (T-A)=Vl —sin2 (7—А) можно положить равным единице и S sin (у— А) — нулю.
Благодаря этому выражение
є cos {А + {(т — A)} = е cos A cos (у — А) — є sin A sin (у — А) приближенно сведется к є cos А, так что будем иметь sin (у — А) = є sin A cos А = 4- в sin 2А,
а
откуда, подставив угол вместо Синуса, получим окончательно (с тем же приближением)
у — А = -і-є sin 2А. (22)
') Ср. Pizzetti, Trattato di Geodesia teoretica (Болонья, второе издание, 1928, стр. 16). упражнения
319
Эта формула показывает, что наибольшее отклонение вертикали имеется на широте в 45° (sin 2к = 1). Оно достигает (в радианах) значения s/2, или в градусах 360 є/4-rc. При значении е, указанном в предыдущем пункте, значение последнего выражения оказывается немногим менее Ю',
УПРАЖНЕНИЯ
1. Если твердое тело находится в поступательно-вращательном движении, в котором угловая скорость ю и ускорение а0 какой-нибудь точки О постоянны, то переносная сила инерции х (для воякой точки твердого тела) не будет зависеть от времени.
Показать, что не существует других движений твердого тела, обладающих аналогичными свойствами.
