Курс теоретической механики Том 1 - Леви-чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
Уравнения относительного равновесия веревки принимают таким образом вид
§ + = 0, 1 = F6 = U. (12')
25. Если мы обратим внимание на то, что величина pwPr/g является постоянной, и положим
у* = т _ Ltfr, (13)
то можно будет также написать
^- + Ft = O, ^ = N, Fb = 0; (12)
эти уравнения тождественны с уравнениями абсолютного равновесия в аналогичных условиях, за исключением лишь того, что величина Т* представляет здесь не само натяжение, а натяжение, уменьшенное на постоянную величину paPrjg.
Это замечание позволяет также и в случае относительного равновесия определить предельное соотношение, которое должно существовать между значениями Та и Tb натяжений на концах § 5. нить на вращающемся елокё
SO?
А, В куска нити, когда, нри заданном значении одного из них, их разность ДT достигает максимума, совместимого с существованием равновесия.
Для этого достаточно обратить внимание на то, что на основании соотношения (13) мы можем рассматривать безразлично T или T*, так как ДУ = ДУ*; для этой же последней разности условия максимума [совместимого с уравнениями (12')] были уже установлены в гл. XIY (п. 61).
Предположив, например, что Т*в есть большее из натяжений на концах А и В, мы нашли тогда, что если равновесие существует, то должно быть
T
bC/8
так что предельное соотношение, при котором еще возможно равновесие, имеет вид
т*
1B_ fi
т* —е >
xA
где 0 есть центральный угол (в радианах), соответствующий дуге AB, и T есть коэффициент трения (статического) между нитью и блоком. Подставив вместо T* его 'выражение (13), мы получим прежде всего соотношение
-9— <еГ*.
T LloIrZ Л 9
выражающее необходимое условие относительного равновесия, т. е. отсутствия скольжения между нитью и вращающимся блоком, и, в частности, равенство
.LuiIrZ
А 9
(14)
которое и является искомым соотношением междц натяжениями на концах, когда одно из них дано и разность достигает наибольшего возможного значения.
То же самое соотношение между Та и Tb должно, конечно, существовать и тогда, когда, наоб>]от, предполагается заданной разность AT и требуется (совместно с существованием относительного равновесия), чтобы натяжение Та было наименьшим.
26. Заметим, что мы с самого начала предположили возможным цренебрегать собственным весом нити по сравнению с натяжением. 308
гл. xvi. относительное равновесие
Так как вес единицы длины нити равен р и нить охватывает приблизительно половину окружности блока, то вес, о котором идет речь (по предположению, ничтожный по сравнению с Т) будет равен izpr. Отсюда следует, что в равенстве (14) можно будет отбросить член p<a2r2/g = крг (ufir 'jT.y) пап в числителе, так и в знаменателе и, следовательно, привести равенство к обычному виду
всякий раз, погда поэффициент oPrjitg при крг не будет очень большим числом.
В обычных случаях ременной передачи (которую мы будем рассматривать в следующем параграфе) это обстоятельство большею частью будет выполняться. Действительно (принимая метр за единицу длины и секунду за единицу времени), радиус г шкива, вообще говоря, будет <1, g = 10 (приближенно) и <о = 2яп, где п обозначает число оборотов в секунду. Например, при г — 0,50, принимая приближенно 2rzjg = 2/3, будем иметь aPrj-xg = 2»2/3 и добавочным членом можно пренебрегать, пока речь идет о небольшом числе оборотов в секунду.
27. Произведение г AT при относительном равновесии нити на блоке измеряет (по абсолютной величине) результирующий момент Г относительно оси блока сил, с которыми нить (или веревка) действует на Самый блок. Действительно, любой элемент нити ds в силу принципа равенства действия и противодействия действует силой —Ids на элемент (жолоба), блока, с которым он соприкасается. Составляющая — Fb ds этой силы по бинормали равна нулю, составляющая — Fnds = Nds по главной нормали пересекает ось; остается касательная составляющая — Ft ds, момент которой относительно оси блока равен —Ftrds (положительное направление оси выбирается таким образом, что момент касательной силы положителен, если сила направлена в сторону отсчета дуг, и отрицателен, если сила направлена в противоположную сторону).
Суммируя эти частичные слагаемые —Ffds, т. е. интегрируя по S между двумя концами А и В рассматриваемой дуги и принимая во внимание постоянство г и .первое из уравнений (12), получим равенство
-г $Ftds = r f ds = г(Tb-Ta),
AB AB
ив которого, приравнивая абсолютные величины, найдем
Г = г AT,
согласно утверждению. § в. РЕМЕННЫЕ ПЕРЕДАЧИ
309
Заметим, что если речь идет о касательных составляющих, направленных в сторону отсчета дуг, произведение —Ft ds будет положительным, и величина T должна, следовательно, возрастать от А к В. Тогда имеем AT=Ts — ТА.
Фиг. 80.
§ 6. Ременные передачи
28. Вращательное движение можно, как известно, передавать с одного вала на, другой, параллельный первому, посредством ремня, натянутого на два шкива, каждый из которых жестко соединен с соответствующим валом; оба шкива должны лежать в одной и той же плоскости, нормальной к обеидо осям вращения.
