Курс теоретической механики Том 1 - Леви-чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
С другой стороны (в силу того, что сила M2 лежит на образующей конуса трения с вершиной в точке G) внешний угол треугольника OAC с вершиной в точке С есть <р. Поэтому, выражая, что отношение сторон ОС = р, OA = г треугольника OAC равно отношению синусов противолежащих им углов, будем иметь
sin Ф _ Р_
sin ср г
Отсюда следует, что ty всегда (значительно) меньше ср. Предполагая угол <р (при обилии смазки) столь малым, что значением <р9 можно пренебречь и приравнивая cos® единице, мы найдем, что то же самое будет иметь место в еще большей степени и для <|>, и поэтому в предыдущее соотношение можно будет подставить sin ф/cos ф = tg ф вместо sin ф, откуда
Отсюда и получается для силы тяги р tg ф выражение
PP sin у
принятое в практике.
23. Сила тяги при начале движения. Сравнение о силой тяги при установившемся движении. Если вместо установившегося движения колеса мы будем рассматривать начальную фазу движения, то тотчас же увидим, что наименьшая сила тяги т0, необходимая для того, чтобы привести колесо в движение, вообще говоря, будет значительно больше. Определим т0, принимая для простоты статическое трение между осью и ступицей колеса одинаковым с динамическим трением.
Так как мы рассматриваем движение, начинающееся из состояния покоя, то точка опоры будет в В. С другой стороны, для того чтобы могло начаться скольжение ступицы по оси, необходимо, чтобы сила Jt2 имела касательную составляющую, по крайней мере равную ptga>. Отсюда следует, что ^0 ^J" ^'-P- Момент этой касательной составляющей относительно точки А будет равен
*o(r — p)>jptg?(r — Pb § 5. нить на вращающемся блоке
Ж
Еслиу как это чаще всего бывает (ср. п. 18), (г—• р) tg9 превосходит h, то достаточно будет иметь силу тяги, едва превосходящую р tg 9, чтобы заставить колесо катиться.
В другом возможном случае такая сила тяги (заставляя JB2 выйти из конуса трения с вершиною в В) делает равновесие невозможным, но движение оси ограничивается при этом только незначительным скольжением внутри ступицы колеса, благодаря которому точка опоры смещается (вперед), например, из В в С (см. вторую из фигур, помещенных в п. 13), однако качение еще не начинается. Для того чтобы колесо действительно начало катиться, необходимо, чтобы момент силы тяги превосходил момент трения качения hp. Легко видеть, что предельная сила тяги необходимо должна совпадать с силой тяги установившегося движения (превосходящей в этом случае рtg®); в самом деле, речь идет о том, чтобы выразить, что абсолютное равновесие находится в предельном состоянии, когда опора находится в точке С, -R2 лежит на соответствующем конусе трения, и т. д.; поэтому сохраняют свою силу рассуждения предыдущих пунктов, причем здесь нет различия между' относительным и абсолютным, так как (п. 12) центробежная сила не вносит изменений и (предыдущий пункт) численное значение коэффициента трения между осью и ступицей колеса рассматривается одинаковым в обоих случаях.
Окончательно мы приходим к следующему заключению: предельная сила тяги в начале движения равна по крайней мере ^tg 9 и для дорог в хорошем состоянии значительно превосходит силу тяги при установившемся движении. Для плохих дорог наименьшая сила тяги, необходимая для приведения колеса в движение, приближенно совпадает с силой тяги при установившемся движении.
§ 5. Нить на вращающемся блоке
24. Для гибкой и нерастяжимой нити (векторное) неопределенное уравнение относительного равновесия можно вывести непосредственно из соотношения
dT-\~Fds = О,
рассмотренного в § 7, гл. ХІУ, где сохранены прежние обозначения, присоединяя к силе Fds, действующей на любой элемент нити, силу инерции переносного движения х- Выставляя на вид ds и выражая х в виде х* ds (где через х* обозначена сила инерции переносного движения на единицу длины нити), будем иметь
^7-F-F+X* = о- (11) 306
гл. xvi. относительное равновесие
Особенно интересным является случай, когда нить навернута на жолоб блока и движется вместе с блоком равномерно без относительного скольжения.
Предположим, пренебрегая собственным весом нити по сравнению с натяжением, что сила F для любого элемента ds сводится к реакции, происходящей от блока, в соприкосновении с которым находится этот элемент. Обозначим через г радиус блока, через о» его угловую скорость, через р вес единицы длины нити, предполагаемой однородной, так что р\д есть масса единицы длины (линейная плотность).
Будем отсчитывать дуги в сторону движения и перейдем от уравнения (11) к внутренним уравнениям (см. гл. ХІУ, § 8), проектируя это уравнение на ребра естественного трехгранника траектории, в обычном предположении, что вектор t нанравлен в сторону отсчета дуг, т. е. в сторону движения, а вектор п в сторону вогнутости, т. е. в сторону центра блока. Обозначим, как обычно, через Ft, Fn, Fb проекции силы F на касательную, главную нормаль и бинормаль к траектории. Так как жолоб блока может оказывать реакции только наружу (в сторону выпуклости), то проекция Fn необходимо будет отрицательной и мы можем положить ее равной —N, обозначая через Ar величину нормальной реакции. Из трех проекций центробежной силы две, а именно у* и у*, будут равны нулю; проекция у*п, будучи нанравленной наружу, очевидно будет равна —poPrjg.
