Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
4. Полнота системы тригонометрических функций. Из сказанного в п.п. 1, 2 следует тот важный факт, что нормированная ортогональная система тригонометрических функций
1 cos X cos 2х "j
j/~2tt' \f Tt
Sin X
Vn' Vn""" J
I
(14)
образует в интервале —тг^лг^тс полную систему функций. И здесь имеет место далее идущая теорема: любую непрерывную в интервале ?—тт«?JC=Sтг функцию f(x), для которой /(—тг)=/(тг), можно62
Задача о разложении в ряд произвольный; функций
Гл. II
равномерно аппроксимировать, при помощи тригонометрических полиномов:
п
~~ + У (0tV C0S + f'v Sin VJC),
где а и ? — постоянные.
Для доказательства напишем o вместо х и рассмотрим плоскость в которой точка определяется полярными координатами р и o (S = P COS О, 7] = P sin O). Функция
<р(?, ч)=р/(»)
непрерывна во всей плоскости ?, Yi и на окружности S2 4-T12= 1 совпадает с данной функцией /(&). На основании теоремы Вейерштрасса об аппроксимировании, функцию <р ($, rt) можно равномерно аппроксимировать в области квадрата, заключающего внутри себя окружность ^2-(-г(2=1, многочленами относительно $ и к]. Полагая затем р=1, мы видим, что функцию /(o) можно равномерно аппроксимировать многочлена^ относительно cos 9 и sino. Но по известным формулам тригонометрии каждый такой многочлен можно представить также в указанном ранее виде:
П
2 + X cos w + ?vsin
Непрерывную функцию f(x), которая не удовлетворяет условию периодичности /(—тг)=/(тг), можно заменить непрерывной функцией g(x), удовлетворяющей этому условию, так, чтобы
j U(X)-g (X)Y dx
— ЇС
имел сколь угодно малое значение. Отсюда следует возможность аппроксимирования в среднем любой непрерывной функции при помощи тригонометрических многочленов и, следовательно, полнота системы тригонометрических функций.
§ 5. Ряды Фурье.
1. Доказательство основной теоремы. На основании общих рассуждений § 1 из ортогональности тригонометрических функций следует, что наилучшее приближение в среднем степени п дает так называемый многочлен Фурье\
п
Sn (X) = -2С + X (fl . C0S VX 4 b, Sin VAT),
V = I§5
Ряды Фурье
63
где
It
Av = -I- f(x)coswdx,
—- TC
TZ
А,= — і f(x)s\nvxdx,
* J-
TZ
aO = \ j" f(x)dx.
(15)
)
При помощи соотношения COS VX-J-г sin VX = Clvjr можно, впрочем, этот многочлен представить в более удобной форме:
s V а & /2aV = flV-^V, v>0 \
Tl
1., = ^^/(^^^^ = 0, + 1,+2, . .).
(15')
Заранее не известно, являются ли полиномы, дающие наилучшее приближение ,в среднем, также равномерно аппроксимирующими, т. е. сходится ли бесконечный ряд Iimsn(X) равномерно и представляет ли
п-> со
он функцию /(х). Этим вопросом занимается теория рядов Фурье.
Для удобства формулировок в дальнейшем, мы представляем себе, что функция /(х) сперва определена только в интервале —тг<^х<^тг и затем периодически продолжена за основную область при помощи функционального сботношения /(х-)-2тг)=/(х); далее, мы в каждой точке разрыва S функции /(х) -принимаем за значение функции среднее арифметическое „предельных значений справа и слева":
/(x-fu) = lim/(x -f А) и /(-X — 0) = lim/(х — А) (А>0),
Л-» О Л-> о
т. е. полагаем
Тогда имеет место следующая теорема: любая кусочно-гладкая в интервале —тг^х^тг и периодическая с периодом 2тг функция может быть разложена в ряд Фурье, т. е. многочлены Фурье
Sn (X)= + X cos VX -f Av-Sin vx)
V = I
стремятся с возрастанием п к f(x). Кроме того, мы докажем, что ряд Фурье сходится равномерно во всяком замкнутом интервале, в котором функция непрерывна.64
Задача о разложении в ряд произвольный; функций
Гл. II
Сначала мы будем вести доказательство в предположении, что функция/(лг) непрерывна, т. е. что разрывы встречаются только у производной /' (X). Обозначая через av и ?v коэфициенты разложения f (х), имеем:
av = ^ / (х) cos vx dx = ^ /(A)sinvxdx = v6v,
— IZ — (Г
TC Tl
?v = і- ^ f (x) sin wdx =—-^j" /(x) cos WdX = — vav,
a0 = 0.
Так как f (x) — кусочно-непрерывная функция, то имеет место условие полноты:
* оо оо
Z-л V=I V = I
Теперь имеем:
т
У, av cos vx -j- b.t sin vx)
Y — (vav cos vx vfiv sin vx) і
V
m Г m .
х^+^т/ zv2
V = n W V = n
V
г * Г т
V2 •
Но отсюда непосредственно следует абсолютная и равномерная сходимость бесконечного ряда:
оо
Iim sn (х) = —0 -j- V (ov cos vx -J- Ъч sin vx), л—»00 1 ,
v=l
который в силу полноты системы тригонометрических функций и представляет функцию /(аг).
Чтобы доказать разложимость в ряд Фурье также и для прерывных кусочно- гладких функций, рассмотрим сперва такую функцию частного вида, которая определяется равенствами:
TT X
h(x)= 2 — 2 при 0<х<2тт,
A(O) = O, h (x-j- 2ir) = h (л), н имеет в точках х = + 2Атт (А = О, 1, ... ) разрыв, равный тт.§ 5 Ряды Фурье 6В
Коэфициенты Фурье этой функции равны
A0 = O, ov=:0, = Y (V=1, 2,...).
Чтобы доказать равенство
oo . ^SinVX
V = I
мы сначала образуем повсюду непрерывную кусочно-гладкую функцию