Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
V А V а —а
О — Л О —а —А
—а А
—а А СО
— Л а —СО
Увеличивая здесь неограниченно А при постоянном значении v
получаем:
?00 V а
С
п-п
о-оо о—о
а
после этого предельный переход при V—г со дает:
осо
С
Iim \ \ —ті/(л:)
o-»COj J о—со
а
Правая часть неравенства может быть сделана при соответствующем сыборе а сколь угодно малой, следовательно, наше утверждение, а вме-вте с тем и требуемая формула (17) доказаны.Интеграл Фурье
73
Ввиду того, что
со
j f(t) cos и (t — аг) dt
-OO
является четной функцией от и, мы можем написать предыдущее равенство и в таком .виде:
оо со
itf(x) = -^^ du j f(t)zosu(t— X)dt;
-co —co
с другой стороны,
CD
1
f(t) sin«(Z — X)dt
—co
есть нечетная функция от и, следовательно,
OO со
0 = i ^ du j f(t) sinu(t — x)dt,
-co —00
если только интеграл в правой части имеет смысл J). Вычитая почленно второе равенство из первого, получаем для точек, в которых функция непрерывна, равенство:
со со
тг/ (Jf) = -^j du \ f (t)e-itt{t-x)dt,
-OO -со
т. е. формулу (16).
2. Распространение формулы на случай многих переменных. Последовательным применением формулы (16) получаем аналогичные формулы для кусочно-гладких непрерывных функций от многих переменных, справедливые для кусочно-гладкнх функций в точках непрерывности. Например:
OO со со со
4тn*F(xu X2)= ij j" j" j* F(tv t2)e-'l«iV*-*J+"M-*Mdt1du1dt2du2
—CO—00 — 00—OO
при условии существования интегралов:
OO
I Fd1, X2^dt1
— 00
00
1
*) Это имеет место для тех значений х, в которых функция f(x) непрерывна P точках разрыва интеграл расходится, как легко видеть на примере функции
/(AT)=I при \х\^\, f(X) = O при |*|> 1,74
Задача о разложении в ряд произвольный; функций
Гл. II
со
j I F(X1, t3))dt2,
-со
н вообще для п переменных имеем:
(2п Г F [xv ...,хп) =
СО 00
= J ... J Fit1...../J6-Un1Ci-AT1)+... +«„(/„-*„))dtjdujdt2du2... dtndun
—СО —00
при аналогичных условиях.
При этом интегрирование следует производить в том порядке, в каком расположены диференциалы.
3. Взаимно обратные.формулы. Если положить
оо
g(u) = ~Lj f(t) е-™ dt,
-co
то интегральная формула Фурье (16) принимает особенно изящную форму. Именно она указывает, что равенства
оо
g(u) = -L [ f(t)e~lut dt, У 2л J —оо
OO
f(t) = ~=^g(u)e^du
-со
вытекают одно из другого. Эти уравнения, если рассматривать в них левые части как известные, представляют пару так называемых интегральных уравнений; каждое из них является решением другого, и при этом обнаруживается полная взаимность. Им соответствуют для четных функций вещественные равенства:
со
g («) = 1 / — \ fit) cos ut dt, о
_OO
/(<) = l/~ ^g(U)COSUtdt,
оПримеры на интеграл Фурье
75
а для нечетных: ш
?(ц) = 1/ — J/Wslnirf Л,
о
_OO
f(t) ~"\f ё(и)sin at du. 'о
Аналогичные формулы имеют место для функций от многих переменных:
Hx1,...,хп) ... Jtfft.• ¦ •. ...
. = J ... Jft*,,...,dx,. . Axn
§ 7. Примеры на интеграл Фурье.
1. Интегральная формула Фурье
OO оо
/(аг) = -^-JrfK J f(t)cosu(t — x)dt =
О —00
00 00 00 00 — J cos их dij f(t) cos ut A-J-^j sin их du j / (t) sin ut dt (17)
O -OO O —00
приводится, если f(x) четная функция, к более простому виду:
CO OO
f(x) = J cos их du Jf(t) cos ut dt, о о
а если f(x) — нечетная функция, — к виду:
оо оо
f(x) = ~ J sin их du J f(t) sin ut dt.
о о
2. Разрывный множитель Дирихле. Пусть f(x) — четная функция, определенная следующим образом:
/(Jt) = I при 0< *< 1, 1-
/(¦*)= 2 при -к = 1.
f(x) = О при X > 1,76
Задача о разложении в ряд произвольный; функций
Гл. II
Тогда
оо і со
2 Г .Г , , 2 Г sin к cos их , f(x) = — I cos их du I cos ut dt = — і---du.
'оо о
Выражение, стоящее справа, называют „разрывным множителем Дирихле". Он находит применение во многих вопросах. 3. Если возьмем при х О
f(x) = e~^ (Р>0),
то получим либо
oo oo сп
/(*) = — \ cosuxdu \ e-V*cosutdt = — \ P cosux тт J J Tt J ?2+ ifi
OO O
либо
oo co co
f(x) = — I sin uxdu I e-?'sin utdt= — I " si" ux ^u tt J J tt J ?3-f-K2
OO O
смотря по тому, захотим ли мы продолжать f(x) для отрицательных значений как четную или как нечетную функцию; во втором случае следует положить /(O) = 0. Интеграл
со
J
coskat . tt Є~ Р1*1 du-
р2 + ка 2 -P
называют интегралом Лапласа.
4. Особенно интересный пример представляет функция
f(x)=e~~2~.
А именно, ввиду того, что
со
/!F
-и'
cos utdt = є 2 ,
о
оба интегральных уравнения
OO OO
g(u) = -l^^j"/(*)cosutdt 2 cosutdt=e2 ,
'о 'о
_OO _00 , р
f(t) = W~ A \g{u) OOS Uidt = ^f Je" cosutdu=e2~, о о
каждое из которых является решением другого, в данном случае вполне тождественны.Полиномы Лежандра
77
§ 8. Полиномы Лежандра.
1. Построение путем ортогонализации степеней 1, х, X2, ... Еще в некоторых отношениях более простой, чем тригонометрические функции пример полной ортогональной системы функций получается, если ортогонализировать по способу, указанному в § t, степени 1, X, X2,... б! заданной основной области, например в интервале — 1 =? X =?: 1. При этом получается последовательность ортогональных нормированных полиномов, которые, будут однозначно определены, если мы потребуем еще, например, чтобы коэфициент при высшей степени X в каждом многочлене был положительным.