Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Курант Р. -> "Методы математической физики Том 1" -> 32

Методы математической физики Том 1 - Курант Р.

Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики Том 1 — Высшая школа, 1966. — 538 c.
Скачать (прямая ссылка): metodimatemat1966.djvu
Предыдущая << 1 .. 26 27 28 29 30 31 < 32 > 33 34 35 36 37 38 .. 202 >> Следующая


V А V а —а



О — Л О —а —А

—а А

—а А СО

— Л а —СО

Увеличивая здесь неограниченно А при постоянном значении v

получаем:

?00 V а

С

п-п

о-оо о—о

а

после этого предельный переход при V—г со дает:

осо

С

Iim \ \ —ті/(л:)

o-»COj J о—со

а

Правая часть неравенства может быть сделана при соответствующем сыборе а сколь угодно малой, следовательно, наше утверждение, а вме-вте с тем и требуемая формула (17) доказаны. Интеграл Фурье

73

Ввиду того, что

со

j f(t) cos и (t — аг) dt

-OO

является четной функцией от и, мы можем написать предыдущее равенство и в таком .виде:

оо со

itf(x) = -^^ du j f(t)zosu(t— X)dt;

-co —co

с другой стороны,

CD

1

f(t) sin«(Z — X)dt

—co

есть нечетная функция от и, следовательно,

OO со

0 = i ^ du j f(t) sinu(t — x)dt,

-co —00

если только интеграл в правой части имеет смысл J). Вычитая почленно второе равенство из первого, получаем для точек, в которых функция непрерывна, равенство:

со со

тг/ (Jf) = -^j du \ f (t)e-itt{t-x)dt,

-OO -со

т. е. формулу (16).

2. Распространение формулы на случай многих переменных. Последовательным применением формулы (16) получаем аналогичные формулы для кусочно-гладких непрерывных функций от многих переменных, справедливые для кусочно-гладкнх функций в точках непрерывности. Например:

OO со со со

4тn*F(xu X2)= ij j" j" j* F(tv t2)e-'l«iV*-*J+"M-*Mdt1du1dt2du2

—CO—00 — 00—OO

при условии существования интегралов:

OO

I Fd1, X2^dt1

— 00

00

1

*) Это имеет место для тех значений х, в которых функция f(x) непрерывна P точках разрыва интеграл расходится, как легко видеть на примере функции

/(AT)=I при \х\^\, f(X) = O при |*|> 1, 74

Задача о разложении в ряд произвольный; функций

Гл. II

со

j I F(X1, t3))dt2,

-со

н вообще для п переменных имеем:

(2п Г F [xv ...,хп) =

СО 00

= J ... J Fit1...../J6-Un1Ci-AT1)+... +«„(/„-*„))dtjdujdt2du2... dtndun

—СО —00

при аналогичных условиях.

При этом интегрирование следует производить в том порядке, в каком расположены диференциалы.

3. Взаимно обратные.формулы. Если положить

оо

g(u) = ~Lj f(t) е-™ dt,

-co

то интегральная формула Фурье (16) принимает особенно изящную форму. Именно она указывает, что равенства

оо

g(u) = -L [ f(t)e~lut dt, У 2л J —оо

OO

f(t) = ~=^g(u)e^du

-со

вытекают одно из другого. Эти уравнения, если рассматривать в них левые части как известные, представляют пару так называемых интегральных уравнений; каждое из них является решением другого, и при этом обнаруживается полная взаимность. Им соответствуют для четных функций вещественные равенства:

со



g («) = 1 / — \ fit) cos ut dt, о

_OO

/(<) = l/~ ^g(U)COSUtdt,

о Примеры на интеграл Фурье

75

а для нечетных: ш



?(ц) = 1/ — J/Wslnirf Л,

о

_OO

f(t) ~"\f ё(и)sin at du. 'о

Аналогичные формулы имеют место для функций от многих переменных:

Hx1,...,хп) ... Jtfft.• ¦ •. ...

. = J ... Jft*,,...,dx,. . Axn

§ 7. Примеры на интеграл Фурье.

1. Интегральная формула Фурье

OO оо

/(аг) = -^-JrfK J f(t)cosu(t — x)dt =

О —00

00 00 00 00 — J cos их dij f(t) cos ut A-J-^j sin их du j / (t) sin ut dt (17)

O -OO O —00

приводится, если f(x) четная функция, к более простому виду:

CO OO

f(x) = J cos их du Jf(t) cos ut dt, о о

а если f(x) — нечетная функция, — к виду:

оо оо

f(x) = ~ J sin их du J f(t) sin ut dt.

о о

2. Разрывный множитель Дирихле. Пусть f(x) — четная функция, определенная следующим образом:

/(Jt) = I при 0< *< 1, 1-

/(¦*)= 2 при -к = 1.

f(x) = О при X > 1, 76

Задача о разложении в ряд произвольный; функций

Гл. II

Тогда

оо і со

2 Г .Г , , 2 Г sin к cos их , f(x) = — I cos их du I cos ut dt = — і---du.

'оо о

Выражение, стоящее справа, называют „разрывным множителем Дирихле". Он находит применение во многих вопросах. 3. Если возьмем при х О

f(x) = e~^ (Р>0),

то получим либо

oo oo сп

/(*) = — \ cosuxdu \ e-V*cosutdt = — \ P cosux тт J J Tt J ?2+ ifi

OO O

либо

oo co co

f(x) = — I sin uxdu I e-?'sin utdt= — I " si" ux ^u tt J J tt J ?3-f-K2

OO O

смотря по тому, захотим ли мы продолжать f(x) для отрицательных значений как четную или как нечетную функцию; во втором случае следует положить /(O) = 0. Интеграл

со

J

coskat . tt Є~ Р1*1 du-

р2 + ка 2 -P

называют интегралом Лапласа.

4. Особенно интересный пример представляет функция

f(x)=e~~2~.

А именно, ввиду того, что

со

/!F

-и'

cos utdt = є 2 ,

о

оба интегральных уравнения

OO OO

g(u) = -l^^j"/(*)cosutdt 2 cosutdt=e2 ,

'о 'о

_OO _00 , р

f(t) = W~ A \g{u) OOS Uidt = ^f Je" cosutdu=e2~, о о

каждое из которых является решением другого, в данном случае вполне тождественны. Полиномы Лежандра

77

§ 8. Полиномы Лежандра.

1. Построение путем ортогонализации степеней 1, х, X2, ... Еще в некоторых отношениях более простой, чем тригонометрические функции пример полной ортогональной системы функций получается, если ортогонализировать по способу, указанному в § t, степени 1, X, X2,... б! заданной основной области, например в интервале — 1 =? X =?: 1. При этом получается последовательность ортогональных нормированных полиномов, которые, будут однозначно определены, если мы потребуем еще, например, чтобы коэфициент при высшей степени X в каждом многочлене был положительным.
Предыдущая << 1 .. 26 27 28 29 30 31 < 32 > 33 34 35 36 37 38 .. 202 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed