Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
j + ^n"1+ ...+а0Гйк
можно представить подинтегральное выражение в виде квадрата линейной комбинации:
[CPn (X) + Cn.! Р„_г (X) 4- ... + C0J2.
Следовательно, интеграл равен выражению 2С2 . " -1
Которое достигает минимума при C0 = C1 = ... = Cn^1 = O.
§9. Примеры других ортогональных систем.
1. Обобщение постановки вопроса, приводящей к полиномам Лежандра. Задачу, из которой мы исходили при введении полиномов Лежандра, можно обобщить следующим образом.
Пусть в интервале a ^x ^b задана неотрицательная функция р(х); требуется исследовать системы функций, получающиеся ортогонализа-
цией функций |/р (х), X Ур(х), X4-J/rP(X),___в интервале й < х < А.
Конечно, эти функции так же линейно независимы между собой, как и степени 1, X, Xі... Очевидно, в ортогонализнрованной системе множители при Vp(X) будут многочлены Q0 (х), Q, (х), ... степеней 0, 1, ... , которые можно однозначно определить при помощи соответствующих
') Из этого диференциального уравнения следует, что все корни полинома Рп(х), различны между собой, так как для кратного корня следовало бы из диференциального уравнения, что вторая производная и все производные высшего порядка должны равняться нулю. (Из определения Pn (х) ня основании теоремы Ролля вытекает, что все корни его действительны и «лежат в промежутке от — 1 до + 1.) §9
Примеры "Других ортогональных систем
8t
добавочных условий; эти многочлены называются ортогональными многочленами, соответствующими нагрузке р{х)]). Например,
при а =—1, b = 1 и р(х) = \ получаются полиномы Лежандра: Я„(х),
при а =—1, A = 1 и р (х) = - —
1/1—л2
получаются полиномы Чебышева:
Tn (х) = cos (я arc cos х),
при a =s—I1A==I и P(X)=V 1—Xz получаем многочлены:
_sin \(п 4- 1) arc cos х]
Qn(x)--VT=^ 1
при а = О, A = I и р(х) = х<1-*(\ — X)p-V(q>0, р —1) получаем полиномы ЯкоЬи или гипергеометрические полиномы,
при а = — оо, А = оо и р(х) = е~х% получаем полиномы Эрмита,
при а = О, А = 00 и р(х)=е~х
— полиномы Лагерра (Laguerre).
Полиномы Чебышева, Якоби, Эрмита и Лагерра мы рассмотрим несколько подробнее.
2. Полиномы Чебышева2). Полиномы Чебышева
Г0(*)=1, Тп(х) = cos (п arc cos х) з)
*) Полиномы Q0(X), Q1(X),..., после умножения каждого на надлежаще выбранный множитель С, обладают свойством минимума, аналогичным свойству иолиномов Лежандра, именно свойством давать наименьшее значение интегралу:
J р (*) (хп + an_lXn-'+...+ e0)2 dx
но сравнению со всеми многочленами с действительными коэфициентами, в которых коэфициент при высшем члене равен единице. И в данном случае можно представить подиЛегральное выражение с помощью многочленов Qn(X), например, в таком виде:
P W [CQn (X) + ^-,On-J W + . - - +?оР,
следовательно, в силу ортогональности функций (х) Qn (х) получаем для
п—і
интеграла выражение С2 + 2]с2,т. е- минимум дйстигается при Cn = Ci = ...
¦ ¦ -=Cn-I = O. V=O
2) Чебышев П. JI., Sur Ies questions de minima, qui se rattachent a la representation approximative des fonctions, Мёш. Acad. sc. Petersb., Серия 6, т. III, стр. 199—291, 1859, Сочинения. Вопросы о наименьших величинах, связанных с приближенным представлением функций, т. I, стр. 271—378, особенно стр.295—301, С. Петербург 1899.
3) На основании известной формулы
COS П S =COS« 6 — (2) COSrt— 2 O sinsO -(- (J) cos«-* 8 sin* o —... эти выражения являются полиномами относительно х.
6 Курант-Гильберт. 82
Задача о разложении в ряд произвольный; функций
Гл. II
образуют для интервала —ортогональную систему полиномов, соответствующую нагрузке р(х) = -, так как:
У 1 —хг
1 2л
2 I TJx) Tm (х) —-== dx =-\ cos ti o cos mb do = 0 при п=/=т.
I П\ I т\ _^2 2ct+"-2J
-1 о
Они замечательны тем, что для них уклонение от нуля, т. е. максимум абсолютного значения в интервале —,1 I1 принимает наименьшее значение, какое только возможно для полиномов п-й степени с действительными коэфициентами и коэфициентом при высшем члене, равным единице, к числу которых принадлежит и Тп(х). В самом деле,
kn
полагая для краткости arccosx=& и Xp=cos — (? = 0,1, ... , п), имеем при
о ті 2тт
&==0' TT' т..... п:
T-W--L — <=!?
'п\л> 2"-1' 2п~л' 2я-1* 2Л_1 '
вообще
Тп(хьУ-
2"-i '
В этих точках Tn (др)- достигает наибольшего уклонения от нуля. Если бы какой-либо многочлен Rn(x) = хп -J-^j*"-1 + ... 4- ап с действительными коэфициентами уклонялся в интервале—I^ х =^l рТ., нуля не больше, чем полином Tn (х), то непременно имели бы место' соотношения:
т„ (*ь) - Rn (*о) > 0, Tn (X1) -/?„(*,)< 0, Tn (X2) - Rn (X2) ^ 0, ...
Следовательно, целая рациональная функция Tn (х) — Rn (х) имела бы в интервале —1 =?X^l по крайней мере п корней, ио это невозможно, так как степень ее не выше (п—1)-й.
Делением Тп(х) на
j!".WiHb-ZS
мы получаем нормированные многочлены.
Полиномы Чебышева являются также коэфициентами разложения производящей функции:
л_.2 OO
^i-to+rS (21)
1 п—0 Примеры других ортогональных систем
83
три последовательных полинома при п ^ 2 связаны соотношением:
