Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
Tn^ (*> - *Тп (X) + І- (х) = 0; (22)
полином Чебышева Тп(х) является решением однородного линейного диференциального уравнения второго порядка:
(1-х8) у" — ху' + пгу = 0. (23)
При п<2 имеют место рекуррентные формулы несколько иной формы:
TZ-XT1 + Y 7O = -^1
T1-^0=O.
3. Полиномы Якоби1). Полиномы Якоби Gn(р, q, х) получаются при .а=0, b= 1 и функции
р(х) = х<1-^(\ —х)Р-9,
где
<7>0, р — q> — 1.
Они могут быть получены также из гипергеометрического ряда:
Fin в Y Vl-I I а Py I g(g+1)3(P + l) . ,
P. Y> *)— 1 -гуух H--fT2~ yfy+i)* + ' • • ' (24)
если положить ? равным целому отрицательному числу —п, а равным р-\-п, a Y = <7," они удовлетворяют поэтому гипергеометрическому ди-ференциальному уравнению:
* 0 'f- х)У" + [Y - (a + P + 1) х\ >' - ару=о, (25)
т. е. в частности Gn(x) удовлетворяет диференциальному уравнению:
* (1 - *) G"n (X) -j- [q - (р + 1) х] G'n (X) + (р -+ п) п Gn (*) = 0 (25')
и представляет единственное целое рациональное решение этого уравнения. Первые среди них имеют вид:
G0 (Р, q, х) = 1,
Ол(р, „х) = I-(J)^x,
__ /3\ (Р + 3)(р Н-4)(Р + 5) W ЯІЯЛ-ЩЯ + Ї)
і) iJacobi С. G. J., Untersuchungen uber die Differentialgleichung der hypergeo-metrischen Reihe, Journ. f. d. reine u. angew. Math., т. 56, стр. 149—165, 1859, Werke, т. 6, CTpw 184—202, Berlih 1891.
6* 84
Задача о разложении в ряд произвольный; функций
Гл. II
вообще они могут быть выражены в виде:
_х\9-р dn
°п(р. я. -x)p*n-9]¦
Из этого выражения следует, что эти полиномы могут быть определены с помощью производящей функции следующим соотношением:
tP-1Y1 —2 tx-\-? ~
OO _
=E(,+;-')o.[a 9, -J^) При p = q= Г получаем полиномы Лежандра:
1
при p = 0, q = — получаются с точностью до постоянных множителей полиномы Чебышева:
Tn W=-On (о, 1, -^r1 F (я, - п, L , Ц^). (27)
4. Полиномы Эрмита1). Полиномы Эрмита Нп(х), для которых а = — оо, b = со и /7(х) = е~-*\ целесообразно определить при помощи производящей функции, полагая
t) = e-*+Kx= Yfi^r-, (28)
(26)
я=о л!
отсюда непосредственно получаем:
f=0
т. е. я-й полином Эрмита Нп(х) равен я-й производной от е-*', умноженной на (—1)"ех'. Из соотношения О __ 2/ф (х, t) следует:
СХ
1Г(х) = 2пНп_1(х) («^ 1), (30)
а из соотношения ^ ^ 2 (tf х) ф (х, t) = 0 вытекает: о! '
Нп^{х)-2хНп{х)-\-2пНп_л(х) = 0 (я^1); (31)'
') Hermite Ch., Sur un nouveau developpement en serie de fonctions, C. R. Acad. sc. Paris., т. 58, стр. 93—100, 266—273; Oeuvres, т. 2, стр. 293—312, Paris 1908; Sur quelques developpements en serie de fonctions de plusieurs variables там же, т. 60, стр. Ь70—377, 432—440, 461—466, 512—518, Г865; там же, стр. 319—346. §9
Примеры "Других ортогональных систем
8t
комбинируя последние две формулы, получаем:
Н'п(х) — 2хН'п(х) + 2пН„(х) = 0 (я 55=0), (32)
т. е. линейное однородное диференциальное уравнение второго порядка для Нп(х). Первые полиномы Эрмита имеют вид:
H0(X) = I, H1(X) = 2х,
Hi (X) = 4л:2 — 2, H3 (х) = 8х3 — 12х.
Н4(х)= 16*4 —48лг2-|-12.
Общее выражение для полинома Эрмита Нп(х) следующее:
Hn(X) = (2х)--(2х)- + п(п-Щп-2)(п-3) +
Последний член равен:
л. п\
(- \)2 -JX—г— при четном я,
(I)'
"-1 я!
(—1) 2 --~г-2л: при нечетном я.
/я—1\
I—)'
Свойство ортогональности полиномов Эрмита получаетсяJ) нз соотношения:
оо оо
j Нт(х) Hn(X) e-*dx = (-\r dx
—со —со
при п~^>т путем повторного интегрирования по частям, если принять во внимание формулу (30) и то, что при бесконечно больших значениях хч обращаются в нуль все производные от е~хименно
со со
j Hm (х)Нп (X) е dx = (- 1)J 2т j Нт_х (х) ^ "^nZ1 = .
-OO -OO
OO
С йп —We-Xi
...=(_ 1 )п~т2тт\ j Я0 (X) dx = 0.
—со
Чтобы нормировать, можно таким же путем при я= яг вычислить
оо
J H2n (х) e-xl dx = 2"я! Уп;
— со
') Так же легко доказать соотношения ортогональности при помощи производящей функции. 86
Задача о разложении в ряд произвольный; функций
Гл. II
b(x) = -fU= (v = 0, 1,2, ...).
тогда функциями нормированной ортогональной системы являются функции:
_ xI Hj (х)е 2
V7 2vv! [/ тс
5. Полиномы Лагерра1,). Полином Лагерра Ln(x) (а = 0, Ь = со, р(х)=е~х), входит как множитель при е--* в производную п-го порядка от функции хпе~х.
1«^ ^ ^ = X (-(?я («- !> • ¦ • +!> ** ==
п
= ?(-!)"-*(?) "(л -1)... (я-ft+l)*-* =
a=o у
=E (- ^("-1)---с-*+*)]8
(rfi п2(п_ 112 \
l_j—... 4 (_ 1)Я/г!\ .
например
I0(*) = l, I1(X) = -X+!,
L2 fx) = ^2 — 4х + 2, I3 (х) = — х3 + 9х2 — 18* + 6,
I4 (х) = X4 — 16х3 -f 72х2 — 96х + 24.
Ввиду того, что
оог<1 oo л .41 oo ..... oo , .
Z^—SS«-«)*© СО <"=
л=0 oft=> fc=0 n=ft
_ у (—th _ tCIiT ""ft! (1 —1)*+1 ~~1 —t '
полиномы Лагерра также имеют простую производящую функцию, а именно
" Xt
4)(*,/) =
е
I-/
1 —г •
Из соотношения
Ol.'
со
Г e~~xdx
і) Laguerre E., Sur !'integrale 1 —-—, Bull. Soc. math. France, т. 7, стр. 72—81,
