Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
») Простейший пример представляет последовательность ортогональных нор-ьуфованны^с функций, у крторчй мера независимости для любой группы функций равна единице»
Мера независимости и число измерений
57
Внутреннее значение введенных понятий, естественно возникающих по геометрической .аналогии с последовательностями векторов в /z-мер-ном пространстве, заключается в том, что последовательность функций с асимптотическим числом измерений г определяет в качестве предельного образования линейное семейство из г функций. Правда, в общем случае это справедливо лишь тогда, когда, пользуясь понятием интеграла Лебега и соответствующей теорией, расширяют положенную в основание область функций. Так как мы, однако, хотим остаться на нашей элементарной позиции, то для доказательства только что высказанного утверждения мы должны согласно § 2 сдіелать еще некоторые ограничительные предположения, а именно, мы просто допустим, что последовательность гладкая (см. стр. 54).
В таком случае имеет место следующая теорема. Пусть,/2, ...— гладкая последовательность функций с асимптотическим числом измерений г. Тогда существуют такие г линейно независимых функций <следовательно, их можно выбрать ортогональными и нормированными) gt,____ gr> что при достаточно большом п каждая из функций fn отличается от некоторой функции из линейного семейства t}g} -f-... -j- tTgr меньше чем на произвольно малое положительное число S, и не существует линейного семейства с числом основных функций, меньшим г, которое обладало бы этим свойством.
Мы можем это предельное линейное семейство характеризовать также следующим образов. Если G1, G2, ..., Gm, ...—/группы, каждая из которых содержит подфункций fmi,...,fmr нашей последовательности и мера независимости которых больше некоторого положительного числа JJi, а индексы mt(i= 1, —,г) с возрастанием т неограниченно возрастают, то линейные семейства функций Sm, определенные при помощи функций из Gm как основных функций, равномерно сходятся с возрастанием т к предельному линейному семейству T, определяемому г линейно независимыми функциями g1.....gr, в том смысле, что
при достаточно большом т всякая нормированная функция из Sm сколь угодно мало отличается от некоторой функции из Т.
Для того чтобы можно было удобно формулировать доказательство этих положений, мы будем пользоваться следующей терминологией. Мы скажем, что функция / удалена от линейного семейства функций 5 на расстояние, меньшее положительного числа d, если разность между/ и надлежаще выбранной функцией из 5 по абсолютному значению повсюду меньше, чем d. Аналогично мы приписываем двум линейным семействам функций 5 и 6* расстояние меньшее', чем d, если любая нормированная функция одного семейства отличается от соответственно выбранной нормированной функции другого-семейства меньше, чем на d.
Теперь легко вчдеть, что при достаточно больших значениях тип функция /я удалена от семейства Sm на произвольно малое расстояние. В самом деле, мера независимости функций /и, /mj, .. fmr при больших т и п произвольно мала; в силу условия гладкости существуют,
г
следовательно, /--J- 1 чисел u0, U1, ..., аг, причем U21 — 1, для кото-
1-0
рых !"o/n + Hj/m,+ , . , + urfmr\ сколь угОДНО МЯЛО. ЧИСЛО Uq С ВОЗра- 58
Задача о разложении в ряд произвольный; функций
Гл. II
стаиием т и п не может неограниченно убывать по абсолютному значению, так как в противном случае мера независимости / , ...,fmr становилась бы сколь угодно малой, что противоречит условию. Следовательно, разделив выражение uQfn~\~ Mi/m,+ • ¦ - ~~h uJmr на ио и
полагая — =J—t{, мы можем заключить, что при достаточно больших k0
значениях т и п функция /„ сколь угодно мало отличается от соответственно выбранной функции ^fmi 4" •«• -f-trfm из линейного семейства Sm. Поэтому и расстояние между линейными семействами Sm и Sn при достаточно больших значениях тип сколь угодно мало. Пусть теперь є — некоторое достаточно малое положительное число (насколько малым его надо выбрать, мы увидим позже), и S1/, S2,... — последо-
со
вательность положительных чисел, причем = Пусть, далее, Ttil —
целое положительное число, такое, что при HlSzml и т^ mt растоя-ние между Sm и Sn меньше S1. Берем какие угодно г нормированных функций An, ...,A1r из последовательности Stttf и определяем (что согласно условию возможно) в Snti (т2^> т}) нормированные' функции A2J,..., A2r так, чтобы | A2f—'AlfKe1- Подобным же образом мы определяем в Sms (т3 > т2) нормироЬанные функции A31, ..., A3r так, чтобы IAi A27Ks2 и т. д. Ввиду того, что |hpl hql|<С?„ последовательность функций Anj при постоянном г = 1, ..г равномерно сходится к предельной функции g.; при этом I gt — AlfKs. Если выбрать є достаточно малым, то одновременно с функциями A11, ...,Ajr и функции gt, ...,gT будут иметь меру независимости, не равную нулю, т. е. будут линейно независимы . Функции gv ...', gr, очевидно, удовлетворяют всем поставленным требованиям.
§ 4. Теорема Вейерштрасса об аппроксимировании. Полнота системы степеней и системы тригонометрических функций.
