Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
/'iiW, Pi2ix), PiAx), Pziix), ргАх)' ¦•¦' PzAx)'
последовательность групп G1, G2, ..., каждая из которых содержит по г функций, причем все эти функции равностепенно непрерывны и равномерно ограничены в интервале a ^x ^b. Тогда можно выделить группы функций рп_к (*)(/= 1,2, ..., Iim п. = оо, A= 1, ...,г)
' /-»go
так, чтобы функции р„.к{х) при неограниченном возрастании і сходились равномерно к г непрерывным функциям рЛ (ж), ..., рг(х).
-Действительно, мы можем путем соответствующего выбора сперва добиться искомой сходимости для первого столбца. Из полученной таким tобразом последовательности групп мы выделяем' подпоследовательность так, чтобы имела место сходимость и во втором столбце, и повторяем этот процесс еще г — 2 раза.
') .Это понятие, относящееся к множествам» функций, не радо смешивать с Понятием, введенным H^ стр. 41, „о гладкой функции". §3
Мера независимости и число измерений
55
§ 3. Мера независимости и число измерений.
1. Мера независимости. Мы можем легко вывести критерий линейной зависимости или независимости г функций/,,___,/,.аналогично тому, как мы это раньше сделали для векторов «-мерного пространства. С этой целью образуем квадратичную форму от г действительных переменных tx, ..., tr:
K(t,t)^N(tx Z1+...+^ =
= [ V1Л -I- . •. + trfrf d * = tIt*' П 2)
наименьшее характеристическое число т, т. е. минимум квадратичной формы K(t, t), когда переменные tt изменяются, удовлетворяя добавоч-
г
ному условию ^ Ц=\, мы будем называть мерой независимости (=1
функций /,,...,/г. Число т конечно не может быть отрицательным.
Функции Z1,___,/г. линейно зависимы в том и только в том случае,
когда мера независимости т равна нулю; в случае же линейной независимости величина числа т дает представление о характере линейной независимости. Обращение в нуль меры независимости т равносильно обращению в нуль определителя Грама
(ЛЛ) - - - (/,Л)
(ZrZ1) . • . (frfr)
(13)
системы функций fx, .../-• Это следует из того, что определитель Гр^ма есть произведение всех характеристических чисел формы К (t, t). Ни одно из этих чисел не может иметь отрицательного значения, поэтому справедливо соотношение /MrSg: Г г^ тМг~1, где M означает наибольшее из характеристических чрсел формы K(t,t). В силу того, что K(t,t) представляет определенную положительную форму, имеем неравенство: F^Oj). Итак, обращение в нуль определителя Грама также пред-ставляет необходимое и достаточное условие линейной зависимости функций /,,... Jr.
г
Если образовать линейную нормированную комбинацию /= Уд U1 ft
/=I
от г линейно независимых функций /j, fr, то ни один из коэфи-
циентов и, не может превозойти по абсолютному значению грани —у=? і
' У т зависящей только от меры независимости функций /г,___,/г. В самом
» Это неравенство представляет обобщение неравенства Шварца. Действительно, оно переходит в неравенство Шварца при ґ= 2. 56
Задача о разложении в ряд произвольный; функций
Гл. II
и,
деле, если v(— —— —і то в силу определения числа т имеем:
У 2*1
i=i
r \2 Nf '1
YvJtj dx~-T2-^=-J—^m'
,=ї 1 JA JA »-і i=i
' і
следовательно, /,и2- С —. Если, следовательно, ортогонализировать
»m I т
J=I
систему г функций, мера независимости которой больше положительг ного числа р» т. е.. заменить функции этой системы надлежаще выбранными нормированными линейными комбинациями их, то абсолютные значения коэфициентов не могут при этом превысить 1
грань -р=,
2. Асимптотическое' число измерений последовательности функций. Если в последовательности нормированных функций /,,/j, ... или, общёе, в последовательности функций с ограни* ченными нормами всегда каждые г-)-1 функций линейно зависимы между собой, так что каждая функция может быть представлена как линейная комбинация* Z1^r1 -J-... -J- trgr от г, но и не меньше, чем г основных функций gj, ...,gr с постоянными коэфициентами z1, ..., zj., т. е. вся последовательность функций входит в состав Линейного семействй t\St-sT ••• -sTtrSn то мы говорим, пользуясь геометрической терминологией, что последовательность функций имеет число измерений," равное г.
Если последовательность функции /,,/2,... не имеет конечного числа измерений, то возможны два случая. Либо для всякого сколь угодно большого положительного числа S существуют группы, содержащие по S функций /Пі, ..., последовательности с произвольно большими индексами я,, ...,ns такие, что мера независимости этих функций больше некоторого определенного положительного числа, ие зависящего от чисел Hi (но оно может зависеть от j). Тогда мы приписываем последовательности функций асимптотическое число измерений ос '). Либо же при достаточно большом S мера независимости функций
fnc •••"»fn, стремится Ki нулю, если все числа пл,____ ns по какому бы
то' ни было закону неограниченно увеличиваются. В этом случае мы называем наименьшее число г, для которого при s>r мера независимости стремится к иулю, асимптотическим числом измерений последовательности, В частности г = О, если Nfn с возрастанием п стремится к нулю, В последовательности, имеющей асимптотическое число изме-. рений г, каждые г-\-\ функций, если только отбросить достаточно большое число начальных функций, „почти" линейно зависимы,
