Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Курант Р. -> "Методы математической физики Том 1" -> 29

Методы математической физики Том 1 - Курант Р.

Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики Том 1 — Высшая школа, 1966. — 538 c.
Скачать (прямая ссылка): metodimatemat1966.djvu
Предыдущая << 1 .. 23 24 25 26 27 28 < 29 > 30 31 32 33 34 35 .. 202 >> Следующая


4. Полнота системы тригонометрических функций. Из сказанного в п.п. 1, 2 следует тот важный факт, что нормированная ортогональная система тригонометрических функций

1 cos X cos 2х "j

j/~2tt' \f Tt

Sin X

Vn' Vn""" J

I

(14)

образует в интервале —тг^лг^тс полную систему функций. И здесь имеет место далее идущая теорема: любую непрерывную в интервале ?—тт«?JC=Sтг функцию f(x), для которой /(—тг)=/(тг), можно 62

Задача о разложении в ряд произвольный; функций

Гл. II

равномерно аппроксимировать, при помощи тригонометрических полиномов:

п

~~ + У (0tV C0S + f'v Sin VJC),

где а и ? — постоянные.

Для доказательства напишем o вместо х и рассмотрим плоскость в которой точка определяется полярными координатами р и o (S = P COS О, 7] = P sin O). Функция

<р(?, ч)=р/(»)

непрерывна во всей плоскости ?, Yi и на окружности S2 4-T12= 1 совпадает с данной функцией /(&). На основании теоремы Вейерштрасса об аппроксимировании, функцию <р ($, rt) можно равномерно аппроксимировать в области квадрата, заключающего внутри себя окружность ^2-(-г(2=1, многочленами относительно $ и к]. Полагая затем р=1, мы видим, что функцию /(o) можно равномерно аппроксимировать многочлена^ относительно cos 9 и sino. Но по известным формулам тригонометрии каждый такой многочлен можно представить также в указанном ранее виде:

П

2 + X cos w + ?vsin

Непрерывную функцию f(x), которая не удовлетворяет условию периодичности /(—тг)=/(тг), можно заменить непрерывной функцией g(x), удовлетворяющей этому условию, так, чтобы

j U(X)-g (X)Y dx

— ЇС

имел сколь угодно малое значение. Отсюда следует возможность аппроксимирования в среднем любой непрерывной функции при помощи тригонометрических многочленов и, следовательно, полнота системы тригонометрических функций.

§ 5. Ряды Фурье.

1. Доказательство основной теоремы. На основании общих рассуждений § 1 из ортогональности тригонометрических функций следует, что наилучшее приближение в среднем степени п дает так называемый многочлен Фурье\

п

Sn (X) = -2С + X (fl . C0S VX 4 b, Sin VAT),

V = I §5

Ряды Фурье

63

где

It

Av = -I- f(x)coswdx,

—- TC

TZ

А,= — і f(x)s\nvxdx,

* J-

TZ

aO = \ j" f(x)dx.

(15)

)

При помощи соотношения COS VX-J-г sin VX = Clvjr можно, впрочем, этот многочлен представить в более удобной форме:

s V а & /2aV = flV-^V, v>0 \

Tl

1., = ^^/(^^^^ = 0, + 1,+2, . .).

(15')

Заранее не известно, являются ли полиномы, дающие наилучшее приближение ,в среднем, также равномерно аппроксимирующими, т. е. сходится ли бесконечный ряд Iimsn(X) равномерно и представляет ли

п-> со

он функцию /(х). Этим вопросом занимается теория рядов Фурье.

Для удобства формулировок в дальнейшем, мы представляем себе, что функция /(х) сперва определена только в интервале —тг<^х<^тг и затем периодически продолжена за основную область при помощи функционального сботношения /(х-)-2тг)=/(х); далее, мы в каждой точке разрыва S функции /(х) -принимаем за значение функции среднее арифметическое „предельных значений справа и слева":

/(x-fu) = lim/(x -f А) и /(-X — 0) = lim/(х — А) (А>0),

Л-» О Л-> о

т. е. полагаем

Тогда имеет место следующая теорема: любая кусочно-гладкая в интервале —тг^х^тг и периодическая с периодом 2тг функция может быть разложена в ряд Фурье, т. е. многочлены Фурье

Sn (X)= + X cos VX -f Av-Sin vx)

V = I

стремятся с возрастанием п к f(x). Кроме того, мы докажем, что ряд Фурье сходится равномерно во всяком замкнутом интервале, в котором функция непрерывна. 64

Задача о разложении в ряд произвольный; функций

Гл. II

Сначала мы будем вести доказательство в предположении, что функция/(лг) непрерывна, т. е. что разрывы встречаются только у производной /' (X). Обозначая через av и ?v коэфициенты разложения f (х), имеем:

av = ^ / (х) cos vx dx = ^ /(A)sinvxdx = v6v,

— IZ — (Г

TC Tl

?v = і- ^ f (x) sin wdx =—-^j" /(x) cos WdX = — vav,

a0 = 0.

Так как f (x) — кусочно-непрерывная функция, то имеет место условие полноты:

* оо оо

Z-л V=I V = I

Теперь имеем:

т

У, av cos vx -j- b.t sin vx)

Y — (vav cos vx vfiv sin vx) і

V

m Г m .

х^+^т/ zv2

V = n W V = n

V

г * Г т

V2 •

Но отсюда непосредственно следует абсолютная и равномерная сходимость бесконечного ряда:

оо

Iim sn (х) = —0 -j- V (ov cos vx -J- Ъч sin vx), л—»00 1 ,

v=l

который в силу полноты системы тригонометрических функций и представляет функцию /(аг).

Чтобы доказать разложимость в ряд Фурье также и для прерывных кусочно- гладких функций, рассмотрим сперва такую функцию частного вида, которая определяется равенствами:

TT X

h(x)= 2 — 2 при 0<х<2тт,

A(O) = O, h (x-j- 2ir) = h (л), н имеет в точках х = + 2Атт (А = О, 1, ... ) разрыв, равный тт. § 5 Ряды Фурье 6В

Коэфициенты Фурье этой функции равны

A0 = O, ov=:0, = Y (V=1, 2,...).

Чтобы доказать равенство

oo . ^SinVX

V = I

мы сначала образуем повсюду непрерывную кусочно-гладкую функцию
Предыдущая << 1 .. 23 24 25 26 27 28 < 29 > 30 31 32 33 34 35 .. 202 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed