Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Курант Р. -> "Методы математической физики Том 1" -> 28

Методы математической физики Том 1 - Курант Р.

Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики Том 1 — Высшая школа, 1966. — 538 c.
Скачать (прямая ссылка): metodimatemat1966.djvu
Предыдущая << 1 .. 22 23 24 25 26 27 < 28 > 29 30 31 32 33 34 .. 202 >> Следующая


1. Теорема Вейерштрасса об аппроксимировании. Самый простой пример полной системы функций представляют степени:

1, X1 X^j X^, . . »

Они образуют для любого замкнутого интервала a ^ X^b полную Систему функций. Более того, для них справедлива следующая теорема Вейерштрасса об аппроксимировании 1): любую непрерывную функцию в интервале а^х^Ь можно равномерно аппроксимировать в этом интервале с помощью тлиномов.

Эта теорема дает больше чем полноту системы, именно обнаруживает не только сходимость в среднем, но и равномерную сходимость.

О Weierstrass К., Uber die analytische Darstellbarkeit sogenannter willkurlichen Funktionen reeller Argumente, Sitzungsber. Akad., Berlin 1885, стр. 633—639, 789— fi05, а также в собоаіши сочинений, т- 3, стр, 1—37, Berlin 1903. §4

Теорема Вейерштрасса об аппроксимировании

59

Для доказательства допустим, что интервал as^x^b лежит целиком внутри интервала 0 х < 1, так что можно найти два числа а и ?, удовлетворяющие неравенствам:

0<a<a<6<?< 1.

Далее, представим.себе, что непрерывная в интервале а^х^Ь

функция f{x) каким бы то ни было образом продолжена непрерывно до границ интервала d^je^?.

Рассмотрим сперва интеграл

J = j"(1 — v*fdv.

Этот интеграл, как легко видеть, стремится с возрастанием п к нулю. Пусть 8 — некоторое постоянное число из интервала 0<^8<^1, а

і

Jl= j (1 -v>rdv,

і

тогда мы утверждаем, что

J*

Iim ~ =

«-»CO Jn

т. е. что при достаточно большом значении п интеграл, взятый в пределах от О до 8, имеет решающее значение при вычислении всего интеграла от нуля до единицы. В самом деле, при п имеем:

і

Jn> [(1 ~v)ndo 1

Tl -J- 1 v

1

J*n = j (l — dv <(1 -[82)" (1 —8) < (1 — 82)",

6

J* J*

-,-<(« + 1)(1 —8T, Um -Tl = O.

Jn n->03 Jn

Теперь образуем выражения:

?

Jz(B)Il-(H-Jr)1InAi

ЛД*) = "-ї- {« = 1,2,...)

('(1 -U2Y1 du —і

при условии a ^x ^b. Эти выражения, очевидно, представляют собой многочлены степени 2п относительно Jfi коэфициенты которых выражаются отношениями определенных интегралов, и эти многочлены дают, как мы сейчас докажем, требуемое аппроксимирование. 60

Задача о разложении в ряд произвольный; функций

Гл. II

Путем подстановки u — v-\-x в числителе получаем: ? ?-*

j/(«)[l -(U-XfYdH= ^/(Xf + Jt)(l — =

a—x

-5 5 ?-X

№1-

Л+ 7Z+ 7S.

a 'je —8 S

где положительное число S из интервала 0 < 6 < 1 мы сейчас соответствующим образом фиксируем. Интеграл /2 можно преобразовать следующим образом:

8 S

S2=Z(X) -rffdv -I- J [.f(v +*)-/(*)](1 -V^Ydv=

-S —8

8

-2/W (¦/„- -О + ^ І/(г» + X) -/(X)] (1 - v*Y dv.

-8

Ввиду равномерной непрерывности функции f(x) в интервале a sg X =^ ? можно для любого наперед заданного сколь угодно малого числа е>0 подобрать такое зависящее только от є число S= Ь (є) из интервала 0 < 8 1, чтобы при | у | <С S и a ^x ^b имело место соотношение IZ(vYx)—/(*)|<СЄ; в таком случае имеем: 8 8

I j [/(* + X) -Z(X) ] (1 — du I < Є j (1 — 4?Y dj <

—8 -8 + 1

<? ^(1 — V2Ydv = 2eJn. —і

Пусть, далее, M— максимум |/(x)| в интервале asgrxsg?, тогда

—8

|/j|</W^(1 -V2YdV=MJl,

-і і

\I3\<M^(\-v*Ydv = Mfn-,

в общем, так как знаменатель в выражении Рп(х) равен 2Jn, получаем: \Pn(x)-Z(x)\<1M^-\s.

J п

Ввиду того, что

Jtn

Iim ---=CiOl я-»GO Jn §4

Теорема Вейерштрасса об аппроксимировании

61

мы можем путем соответствующего выбора п сделать правую часть меньше 2є; таким образом действительно f(x) равномерно аппроксимируется в интервале a ^ X ^b с помощью полиномов Pn (х).

2. Распространение на функции от многих переменных. Таким же образом доказывается, что непрерывная при а1<^х1<^ < Ь( (г= 1,2, ... т; 0 < Q1 < bt < 1) функция от т переменных Xv..., хт равномерно аппроксимируется полиномами:

РП(Х1> " Хт) ~

Pi Pm

)-•¦ j /К.....кJ[l—(B1-X1YY...[1 -(ит-XJfdu1... duт

[ j (1 — и2)"du]'

—і

причем



3. Аппроксимирование производных. Несколько углубляя наши рассуждения, мы получаем -следующий общий результат: функцию f(xv ... , хт) непрерывную и имеющую непрерывные производные до А-го порядка включительно в замкнутой области at ^ Xi ^ bit можио равномерно аппроксимировать с помощью полиномов Р(л:,..., хт) так, чтобы и производные от функции / до А-го порядка равномерно аппроксимировались производными соответствующего порядка от этих полиномов.

Для доказательства мы опять предполагаем 0 < at < bt < 1 и представляем себе функцию / продолженной за область определения на большую прямоугольную область Qi X1С (0 < at < Cil < bt < ^ < 1) так, чтобы функция и ее производные были непрерывны в новой области и, кроме того, чтобы значения функции / и ее производных до (А—1)-го порядка включительно были равны нулю на границе новой области. Тогда определенные в предыдущем номере полиномы Рп(хл, ... , хт) дают требуемое аппроксимирование. В этом можио очень просто убедиться следующим образом: диференцируем под знаком интеграла по х{, заменяем это диференцирование равносильным ему ди-фереицированием по U1 и, наконец, преобразуем интеграл путем интегрирования по частям, пользуясь при этом пограничными условиями.
Предыдущая << 1 .. 22 23 24 25 26 27 < 28 > 29 30 31 32 33 34 .. 202 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed