Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
1. Теорема Вейерштрасса об аппроксимировании. Самый простой пример полной системы функций представляют степени:
1, X1 X^j X^, . . »
Они образуют для любого замкнутого интервала a ^ X^b полную Систему функций. Более того, для них справедлива следующая теорема Вейерштрасса об аппроксимировании 1): любую непрерывную функцию в интервале а^х^Ь можно равномерно аппроксимировать в этом интервале с помощью тлиномов.
Эта теорема дает больше чем полноту системы, именно обнаруживает не только сходимость в среднем, но и равномерную сходимость.
О Weierstrass К., Uber die analytische Darstellbarkeit sogenannter willkurlichen Funktionen reeller Argumente, Sitzungsber. Akad., Berlin 1885, стр. 633—639, 789— fi05, а также в собоаіши сочинений, т- 3, стр, 1—37, Berlin 1903.§4
Теорема Вейерштрасса об аппроксимировании
59
Для доказательства допустим, что интервал as^x^b лежит целиком внутри интервала 0 х < 1, так что можно найти два числа а и ?, удовлетворяющие неравенствам:
0<a<a<6<?< 1.
Далее, представим.себе, что непрерывная в интервале а^х^Ь
функция f{x) каким бы то ни было образом продолжена непрерывно до границ интервала d^je^?.
Рассмотрим сперва интеграл
J = j"(1 — v*fdv.
Этот интеграл, как легко видеть, стремится с возрастанием п к нулю. Пусть 8 — некоторое постоянное число из интервала 0<^8<^1, а
і
Jl= j (1 -v>rdv,
і
тогда мы утверждаем, что
J*
Iim ~ =
«-»CO Jn
т. е. что при достаточно большом значении п интеграл, взятый в пределах от О до 8, имеет решающее значение при вычислении всего интеграла от нуля до единицы. В самом деле, при п имеем:
і
Jn> [(1 ~v)ndo 1
Tl -J- 1 v
1
J*n = j (l — dv <(1 -[82)" (1 —8) < (1 — 82)",
6
J* J*
-,-<(« + 1)(1 —8T, Um -Tl = O.
Jn n->03 Jn
Теперь образуем выражения:
?
Jz(B)Il-(H-Jr)1InAi
ЛД*) = "-ї- {« = 1,2,...)
('(1 -U2Y1 du —і
при условии a ^x ^b. Эти выражения, очевидно, представляют собой многочлены степени 2п относительно Jfi коэфициенты которых выражаются отношениями определенных интегралов, и эти многочлены дают, как мы сейчас докажем, требуемое аппроксимирование.60
Задача о разложении в ряд произвольный; функций
Гл. II
Путем подстановки u — v-\-x в числителе получаем: ? ?-*
j/(«)[l -(U-XfYdH= ^/(Xf + Jt)(l — =
a—x
-5 5 ?-X
№1-
Л+ 7Z+ 7S.
a 'je —8 S
где положительное число S из интервала 0 < 6 < 1 мы сейчас соответствующим образом фиксируем. Интеграл /2 можно преобразовать следующим образом:
8 S
S2=Z(X) -rffdv -I- J [.f(v +*)-/(*)](1 -V^Ydv=
-S —8
8
-2/W (¦/„- -О + ^ І/(г» + X) -/(X)] (1 - v*Y dv.
-8
Ввиду равномерной непрерывности функции f(x) в интервале a sg X =^ ? можно для любого наперед заданного сколь угодно малого числа е>0 подобрать такое зависящее только от є число S= Ь (є) из интервала 0 < 8 1, чтобы при | у | <С S и a ^x ^b имело место соотношение IZ(vYx)—/(*)|<СЄ; в таком случае имеем: 8 8
I j [/(* + X) -Z(X) ] (1 — du I < Є j (1 — 4?Y dj <
—8 -8 + 1
<? ^(1 — V2Ydv = 2eJn. —і
Пусть, далее, M— максимум |/(x)| в интервале asgrxsg?, тогда
—8
|/j|</W^(1 -V2YdV=MJl,
-і і
\I3\<M^(\-v*Ydv = Mfn-,
в общем, так как знаменатель в выражении Рп(х) равен 2Jn, получаем: \Pn(x)-Z(x)\<1M^-\s.
J п
Ввиду того, что
Jtn
Iim ---=CiOl я-»GO Jn§4
Теорема Вейерштрасса об аппроксимировании
61
мы можем путем соответствующего выбора п сделать правую часть меньше 2є; таким образом действительно f(x) равномерно аппроксимируется в интервале a ^ X ^b с помощью полиномов Pn (х).
2. Распространение на функции от многих переменных. Таким же образом доказывается, что непрерывная при а1<^х1<^ < Ь( (г= 1,2, ... т; 0 < Q1 < bt < 1) функция от т переменных Xv..., хт равномерно аппроксимируется полиномами:
РП(Х1> " Хт) ~
Pi Pm
)-•¦ j /К.....кJ[l—(B1-X1YY...[1 -(ит-XJfdu1... duт
[ j (1 — и2)"du]'
—і
причем
3. Аппроксимирование производных. Несколько углубляя наши рассуждения, мы получаем -следующий общий результат: функцию f(xv ... , хт) непрерывную и имеющую непрерывные производные до А-го порядка включительно в замкнутой области at ^ Xi ^ bit можио равномерно аппроксимировать с помощью полиномов Р(л:,..., хт) так, чтобы и производные от функции / до А-го порядка равномерно аппроксимировались производными соответствующего порядка от этих полиномов.
Для доказательства мы опять предполагаем 0 < at < bt < 1 и представляем себе функцию / продолженной за область определения на большую прямоугольную область Qi X1С (0 < at < Cil < bt < ^ < 1) так, чтобы функция и ее производные были непрерывны в новой области и, кроме того, чтобы значения функции / и ее производных до (А—1)-го порядка включительно были равны нулю на границе новой области. Тогда определенные в предыдущем номере полиномы Рп(хл, ... , хт) дают требуемое аппроксимирование. В этом можио очень просто убедиться следующим образом: диференцируем под знаком интеграла по х{, заменяем это диференцирование равносильным ему ди-фереицированием по U1 и, наконец, преобразуем интеграл путем интегрирования по частям, пользуясь при этом пограничными условиями.