Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
-OO -СО
X
*) См. например, Курант, Курс диферейциального и интегрального исчисле-
ния, часть 1, стр. 391—397, ГНТИ, 1931 г. Ряды Фурье 82
00
г V
так как \ е~г* dz, взятый вдоль прямой ^z = — , параллельной действи-
«J X
—OO _
тельной оси, имеет такое же значение \Гтг, как и вдоль самой действительной оси. (В самом деле, применяя к функции е~и прямоуголь-
V V
нику с вершинами — Т, -\-Т, -J-7*4-і—, —Г-J-і— теорему Коши и
неограниченно увеличивая затем число Т, мы видим, чтЬ интегралы, взятые по вертикальным отрезка^, стремятся к нулю, так как подин-тегральное выражение равномерно стремится к нулю, а длина пути
интегрирования равна постоянному числу Следовательно, мы пог
лучаем •
1 00 <рOO=-г- V е * у X
v=-oo
а отсюда при у= О следует:
00 і 00 1 /1\
ji=-od v=-oo ¦
Рассмотренное здесь в данном частном случае применение разложения в ряд Фурье к преобразованию бесконечных рядов представляет пример приема, который в последнее время оказался очень плодотворным при изучении некоторых аналитических функций, встречающихся в высшей арифметике.
Рассуждения, которыми мы только что пользовались, приводят к об-іцей и очень важной формуле преобразования рядов, формуле суммирования Пуассона. Пусть имеем ряд
оо
S <р.(2ля),
я=—СО
в котором tp (х) представляет такую непрерывную, и непрерывно дифе-ренцируемую функцию OT X, что ряды
Y <р(2тги+0
со
E
л=—СО
со
Y </(2яи-М
я=—ОЭ
сходятся абсолютно и равномерно для всех значений t из интервала 0<і<2тт. Тогда второй ряд представляет производную от первого ряда по t, и потому первый* ряд может быть представлен в интервале 70
Задача о разложении в ряд произвольный; функций
Гл. II
О t -< 2тг в виде сходящегося ряда Фурье. Следовательно, имеет место разложение:
СО I OO 2р со
X Ч>(2пя + 0=^ X еЫ I e_,VT X ?(2ir« + T)tft =
п — -CD V = -CO J л= —OO
. со со 2Д
V=-co n=-coj
Внутреннюю сумму можно преобразовать следующим образом:
ҐЛ 2* гл 2я(л+1) СО
со /» со р P
X І ф(2п« + т)в-ЛтЛ= X I ?(т)е-'"Л= I tp(x)e-'rtdt,
о "=-°° --со и мы получаем:
СО 1 OO 9?
X ? (2га+ 0=2^ X 1
я=-СО ''=-00 J^q
Полагая здесь < = 0, окончательно получаем:
OO 1 со f
л=—CO V=-OO Jfo
Это и есть формула Пуассона. Для того чтобы эта формула была справедлива, очевидно, требуется только, чтобы существовали все встречающиеся в ней интегралы, чтобы ряд
со
X tP (2га+о
-OO
равномерно сходился относительно * в интервале О t <[ 2тс и представлял функцию, разлагающуюся в ряд Фурье.
§6. Интеграл Фурье.
1. Доказательство основной теоремы. В разложении функции /(*), заданной в интервале — в ряд Фурье:
CQ . it
Іч — Х
/(*)= X «V* 1 .
21 j
V=—CO I •
f(t)e " It dt §6
Интеграл Фурье
71
естественно попытаться сделать предельный переход I—> оо для того, чтобы освободиться от необходимости периодического продолжения функции /(а:) и получить выражение для непериодической функции, определенной для всех действительных значений X. При этом мы сохраняем условие, что функция /(лг) является кусочно-гладкой в любом конечном интервале и в точках разрыва имеет значение, равное среднему арифметическому предельных значений справа и слева, и кроме того, вводим добавочное условие, что существует
OO
J If(x)\dx.
-OO
Полагая = 5, получаем:
1 00 Г f(X) = Yu L b)t(t)er-iMi-x)dt,
откуда предельный переход I—»оо, т. е. 5—>0 приводит к формуле:
OO со
/(*) = ? j du J /(і) er-'«('-*> dt. (16)
-.00 -OO
Для функций, имеющих только действительные значения, мы можем представить эту формулу также в виде:
OO OO
f(x) = ~ ^du j" f(t) cos« (t — x) dt. (17)
O -OO
Строгое доказательство этой интегральной формулы Фурье проще всего провести не путем обоснования правильности предельного перехода, а непосредственным подтверждением формулы (16) или (17).
Исходным пунктом служит установленная Дирихле формула:
а
Iim JL \nx + t)^dt = \[f{x + 0)+f(x—0)\=f{x)*)t
f-tOO 11 J &
') Доказательство этой формулы, которая служит обычно также основанием теории рядов Фурье, см. в учебниках диференциального и интегрального исчисления, например, Courant, Vorlesungen uber Differential- und Integralrechnung, 2-е изд., стр. 373, Berlin 1930. Для удобства читателя оно приведено в дополнении в конце книги+. 72
Задача о разложении в ряд произвольный; функций
Гл. II
где а. -—произвольное положительное число; она справедлива для любой кусочно-гладкой функции f(x). Из этой формулы следует:
а V Xi а
п/(лг)==Нш I f(x-\t)dt\ cos ut du = lim I du I f (x-{-t) cos ut dt=
v-*co J J о->oo J J
O
OO a
о -a
— j" du J -j-1) cos ut dt.
O — a
Мы утверждаем, что формула останется справедливой, если во внутреннем интеграле произвести интегрирование от —со до -f-oo. Действительно, если А^>а, то
V A v a V —a v A —а V Av
і HH ИН№
О—Л 0-« О — Д О а —ДО а О
так как согласно условию существует
оо
^ = C,
-OO
то отсюда следует:
