Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
Мы утверждаем, что они с точностью до постоянных множителей совпадают с многочленами
^oM = I, WJsdn(X2d~nl)n 2.--J,
которые называются полиномами Лежандра J). Так как процесс ортогонализации обнаруживает, что существует, если не принимать во внимание постоянных множителей, только одна система, ортогональных многочленов, в которую входят многочлены любой степени, то достаточно доказать, что Pn (х) есть многочлен я-й степени и, кроме того, что система многочленов Pn (х) обладает свойством ортогональности^ Но действительно Рп(х) является, очевидно, многочленом я-й степени:
л
(2 V —я)!
V=o
1 • 3 • 5 • ¦ • (2v — 1)
v=0
(и—v)!(2v —/г)!2"-
X
2V-7I
Из этой суммы следует выбросить члены, содержащие отрицательные степени де. Поэтому в случае четного я ннзшнм членом будет
?1.3.5...(/»-¦!) 1 ' 2-4-6 ••• п ' а в случае нечетного я:
. 1-3.5---и
(—1) 2
'2-4-6-.. (л—1)' например,
Рг(х) = х, Ps(Jt) = I^-I,
я,(*)=-§.*•-1*,
*) Legendre A. Af., Recherches sur l'attraction des spheroides homogenes, Mem. math. phys. pres. & l'Acad. sc. par divers sav., т. 10, стр.411—434, 1785; Recherches sur la figure des planfctes, Ures des reg. de l'Acad. sc., стр. 370 -389; 1784 (1787). 78
Задача о разложении в ряд произвольный; функций
Гл. II
Чтобы доказать, что многочлены Pn (л;) образуют ортогональную систему, полагаем для краткости (хг—1)я = «я(л:); тогда для любого целого неотрицательного числа т<С.п имеем:
і і
JРп(х)x"dx=^JrJ "<?>(*)Xmdx = О, -і -і
что легко проверить путем повторного интегрирования по частям, пока из-под знака интеграла постепенно не исчезнет хт, принимая прн этом во внимание, что все производные от ип (х) до (п — 1 )-го порядка на границах промежутка интегрирования обращаются в нуль. Отсюда следует, что и
і
[ Pn(X) Pm(X) dx= о (т<п), —і
т. е. что действительно два различных многочлена взаимно ортогональны. Для нормирования мы вычисляем при помощи многократного
і
интегрирования по частям j* [uW (х)\г dx\
—і
і і і
J u%)(x)uW(x)dx=— j «(»-!) K^»+1) dx=lj u<nn-Vu(nn+Vdx= ...
-і -і -і і і
...=(-1)" J u„aP")dx = (2n)l j (1 —л)"(1 -f x)"dx;
-і -і
так как і
J (1 —*)"(! j" (1 — JCje-1O+*)"*1
-і -і
і
(я + l)(n-f-2)... 2n J v 1 7 (2я)!(2я4-1)
TO
1
-
— 1
и следовательно, искомые нормированные многочлены имеют вид:
(х2 —1)*
1
I
v! dx* §8
Полиномы Лежандра
79
Полиномы Лежандра Рп(х) обладают тем свойством, что
рп( D-=I;
это легко видеть, образуя по известному правилу Лейбница п-ю производную выражения (х — 1 )а (х -J- 1)" н полагая затем je= 1.
2. Производящая функция. Важную роль играют многочлены Лежандра в теории потенциала, где они фигурируют в качестве коэфи-циентов разложения производящей функции. В самом деле, если мы разложим величину, обратную расстоянию между двумя точками, одна из которых удалена от начала координат на 1, а другая — на и<^\ и радиусы-векторы которых образуют угол arc cos х, т. е. величину
, по степеням и, то с помощью биномиального ряда найдем: 1 00
Vl-2 их-\-и*
у--' =YQn(x)u", (18)
Vi- 2а*+ и»
причем Qn(x) есть многочлен я-й степени ОТ X. Покажем, что эти многочлены Qn (х) тождественны с ранее определенными полиномами Лежандра, для чего докажем, что Qn(x) удовлетворяют тем же соотношениям ортогональности, что и Pn (х). Действительно, из определяющего равенства (18) тотчас же следует:
1 1 00
— л -— У Qn (х) Qm (JC) UnVm.
Vl - 2хи + н*1Л - 2xv +V n>tl0Vn ^
Интегрируя левую часть по * в пределах от — 1 до —J— 1, получаем в результате элементарного вычисления:
1 , 1 -\-Vw ? 2
-=Iog— =У-UnVn-,
Vuv bX-Vuv ^02я+1
интегрируя правую часть почленно и сравнивая результаты, получаем: * j 0 при пфт,
I
-і
Qn (X) Qm(x) dx = { 2^ я 2п-\- 1
Подобным же образом получим Qn(I)=I, если подставим в равенство (18) вместо X единицу. Тем самым установлена тождественность многочленов Q„(x) и Рп(х).
3. Дальнейшие свойства. Рекуррентная формула. Диференцируя производящую функцию по и, получаем рекуррентную формулу для трех следующих друг за другом полиномов Лежандра:
(»'+ 1) рп*г № — х(2п+\)РП(X) + пРн_г (X) = 0. (19)
ое ) у (X)-.
Диференциальное уравнение, я-й многочлен Лежандра
1 d" (х2 — 1)"
2 "л! dx" 80
Задача о разложении в ряд произвольный; функций
Гл. II
удовлетворяет однородному линейному диференциальному уравнению второго порядка:
(Л2_і)у'_|_2лу — и (я-j-1)^ = 0 (20)
или
[(*2 — 1)У]' — п(п + \)у = 0. (20')
Это доказывается путем (п -f- 1)-кратного диференцирования равенства (X2—\)и' = 2пхи, где и = (х2 — 1)", причем в результате заменяем и(п) через 2пп\у
Свойство минимума. Если умножить полином Лежандра Pn (х) на число С, обратное коэфициенту при л", и, следовательно, коэфи-циент при хп в многочлене CPn (X) будет равен единице, то получаются многочлены, отличающиеся следующим свойством минимума. Среди всех многочленов я-й степени с действительными коэфициентами и высшим коэфициентом, равным единице, они наименее удалены в среднем от нуля в интервале — 1 ^ х ^ 1. Доказательство этого предложения вытекает просто из того соображения, что в интеграле
