Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
сю
Л/2 (S1Z) ^fitf = ? ^gnt) dt.
К і-му члену в правой части применяем условие полноты по отношению к системе функций (J)fci (t) і (k= 1, 2,...) и непосредственно получаем искомое соотношение.
§2. Принцип предельных точек в функциональном пространстве.
1. Сходимость в функциональном пространстве. Аналогия между функциями и векторами в «-мерном пространстве часто
сю
1J Это следует из теоремы Дини (Dini): если ряд 2 fy (t) положительных не-
v=i
прерывных функций, сходящихся в замкнутой области G, представляет непрерывную функцию S(f). то этот ряд сходится равномерно. Наметим здесь доказате^ь-
п
ство в самых общих чертах. Полагаем Sn (t) = 2 /* (t), S (t) = Sn (f) + Rn (t). Если
V = I
бы утверждение было неправильным, то существовали бы положительное число а, неограниченно возрастающая последовательность чисел /z1, п2, п3>... и соответствующие значения ft, t^. ts,... в области G такие, что Rn. (tt) а, и следовательно, S„t (t{) S (?) — а. При sfoM мы можем допустить, что значения стремятся к некоторому пределу t из области G. Пусть теперь N означает определенно выбранное число, тогда при Ui^==N и Sn. (t{)їзSN(ti), следовательно, Sjv(Ц =?S(ff) — а. Здесь, мы неограниченно увеличиваем г и получаем в силу наших предположений о непрерывности:
SN(t)^S(t)-a, что при достаточно большом N, конечно, невозможно. §2
Принцип предельных точек в функциональном пространстве
51
нарушается, если перейти к рассмотрению бесконечных совокупностей функций и бесконечных совокупностей векторов. В случае векторных многообразий непосредственно из простейших фактов анализа (принцип предельных точек, определение сходимости) следует, что из каждого бесконечного множества векторов to с ограниченным абсолютным значением, |ti| или ограниченным нормом to2 = Л/to можно выбрать сходящуюся подпоследовательность, далее, что из соотношения
lim N(bn — toj = 0,
и—>00 яг-»СО
имеющего'место для последовательности векторов toj, .to2, to3,...., вытекает существование предельного вектора to = Iim to„, и, наконец, что
я-S-GO
из соотношения Iim Nbn-O получается соотношение Iiirf Ип = 0.
л-»00 я->СО
В пространстве бесконечно большого числа измерений эти утверждения перестают быть правильными. Например, не из всякого бесконечного множества непрерывных функций /(х) с ограниченным нормом Nf можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к непрерывной функции; нельзя также из соотношения Iim Nfn — 0, имеющего место
сайт последовательности непрерывных функций, заключать, что справедливо соотношение Iimfj = O. Возьмем, например, в основной области л-»со
— 1 л: C^ І функции
fn(x) = 0 при .
Любая подпоследовательность из этой 'последовательности функций сходится к имеющей разрыв в точке х = 0 функции:
/ (л) = 0 при X ф О,
/ (х)= 1 при X==O1
и несмотря на это, Iim Nfn = 0.
я-»СО
Сделать возможным проведение аналогии между векторами и функциями, т. е. сохранить в „пространстве функций" принцип предельных точек и указанные теоремы о сходимости, есть задача, неизбежно встречающаяся во многих исследованиях, прежде всего при доказательствах сходимости и доказательствах существования. Возможны два пути для решения этой задачи.
Во-первых, можно достигнуть цели расширением . области функций и одновременным расширением понятия интеграла и понятия сходимости. FIo этому пути, опирающемуся на теорию Лебега (Lebesgue) 4* 52
Задача о разложении в ряд произвольный; функций
Гл. II
мы не пойдем 1), так как он не соответствует характеру этой книги. Мы пойдем другим путем, который основан на том, что мы суживаем область функций так, чтобы имел место принцип сходимости. Это сужение заключается в том, что мы требуем от совокупнр-сти функций не только непрерывности, но и равностепенной непрерывности, (gleichgradige Stetigkeit) для всей области функций. Пусть, например, речь идет о функциях от одной независимой переменной х. Тогда требование равностепенной непрерывности означает, что каждому положительному числу є должно соответствовать положительное число й = 5(є), зависящее только от є, но не от выбс/ра отдельной функции f(x) из множества функций, такое, что из соотношения | X2 — х, | < й (?) следует соотношение |/(*,)—/(х2) I < ?, если х, и X2 принадлежат к области изменения независимого переменного. Например, в интервале
ь
а х^Ь все непрерывные функции / (*), для которых ^ f2 (х) dx М,
а
где M — фиксированное постоянное число, образуют равностепенно непрерывное множество функций. В самом деле, для двух значений X1 и X2 из указанного интервала имеем:
*«
/(X2) -/(X1) ^^f (X) dx, Xi
Следовательно, в силу неравенства Шварца
Xi
2 < (X2 — X1) (X) dX < |*2 - X1I М. Xl
S2
Из этого неравенства мы видим, что при д (г) = — выполнены условия равностепенной непрерывности. Для таких множеств функций имеет место принцип предельных точек. Из любого множества функций, равномерно ограниченного и равностепенно непрерывного в основной области G, можно выбрать равномерно сходящуюся в области G подпоследовательность q, (х), <7? (х), q3/x).....которая сходится к непрерывной предельной функции2).
