Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
Содержание предыдущего предельного равенства мы будем также вы-
»
ражать следующим образом: последовательность функций У, Cyi tpv схо-
V=I
дится в среднем к функции /.
Далее, приводим теорему кусочно-непрерывная функция однозначно определяется своими коэфициентами разложения по заданной полной ортогональной системе, т. е. две кусочно-непрерывные функции тождественны между собой, если их коэфициенты разложения соответственно равны. Действительно, разность двух таких функций с равными коэфициентами имеет коэфициенты, равные нулю, и следовательно, в силу условия полноты и норм ее равен нулю; следовательно, эта разность сама должна тождественно равняться нулю. Таким образом функция однозначно характеризуется своим разложением по полной ортогональной системе функций и в том случае, когда разложение сходится не в обычном смысле, а только в среднем. Во многих рассуждениях достаточно бывает этой сходимости в среднем.
Понятие полноты системы функций сохраняет смысл и в том случае, когда система не ортогональна и не нормирована. Вообще мы будем называть систему функций полной системой, если любая кусочно-непре-рывная функция может быть аппроксимирована в среднем с любой точностью при помощи линейного агрегата этих функций. Полнота такой системы переносится также иа ортогональную систему, получающуюся из иее путем ортогонализации.
4. Ортогональные и унитарные преобразования бесконечно большого числа переменных. Ортогональные нормированные системы функций аналогичны во многих отношениях ортогональным системам нормированных векторов в и-мерном пространстве; компоненты Cv-(ftрJ функции / можно рассматривать как прямоугольные координаты функции / в системе координат, определенной при
помощи „координатных функций" iplf ip2___в пространстве бесконечно
большого числа измерений.
Если ф2,...— другая ортогональная нормированная система, в которой компонентами функции / служат dv = (/<1>V), и если обе системы являются полными, то применение условия полноты (9') к функции / и функциям ^pi по отношению к системе (J)1, непосредственно
дает бесконечную систему равенств:
со
««=(«Pi<M (/=1,2,...). (10)
Соответственным образом получаем обратную систему равенств:
со
Jl = XaMc*' = (''=1,2,...)- (10') k^i Ортогональные системы функций
49
Коэфициенты удовлетворяют условиям:
со Л ...
on
представляющим обобщение условий ортогональности в пространстве ^n измерений (гл. I, § 1) на пространство бесконечно большого числа измерений. Поэтому преобразование (10), удовлетворяющее условиям (11) и (11'), называют ортогональным преобразование и бесконечно большого числа переменных.
Аналогично устанавливается связь между коэфициентами двух комплексных ортогональных систем при помощи унитарного преобразования бесконечно-большого числа переменных.
5. Справедливость результатов в случае нескольких независимых переменных. Расширение предпосылок. Все установленные нами понятия и рассуждения остаются справедливыми, если вместо функций от одной переменной X рассматривать функции от нескольких переменных, например ОТ X и у, причем переменные изменяются в заданной конечной области G, элемент площади которой обозначим через dO. Внутреннее произведение (/, g) двух функций /(х, у) и g{x, у), определенных в этой области О, мы определяем равенством
(f, g) == \ fgdG, и тогда в обозначениях и доказательствах этого пара-g
графа не приходится делать никаких существенных изменений.
Далее, все установленные понятия и факты сохраняются и в том случае, если считать основную область бесконечной и допустить, что все встречающиеся функции вместе с их квадратами интегрируемы во всей основной области'.
Наконец, заметим, что наши понятия сохраняют смысл, если функция/ обращается в бесконечность в основной области так, что квадрат ее интегрируем во всей основной^ области.
6. Построение полных систем функций от многих переменных. Если известны полные системы функций от одной переменной, то можно построить полные системы функций от двух И большего числа переменных на основании следующей теоремы: если система функций
,Представляет полную ортогональную нормированную систему функций '¦р интервале a^s^b' и если для любого і = 1,2... в интервале c^t^d (функции
ФиЮ. <М*);...
»Образуют такую же систему, то функции
®/fc(S> 0 = <РДв)Фи(<)
' КурдаГозьбсрі. 63
63 Задача о разложении в ряд произвольный; функций
Гл. II
образуют полную ортогональную систему функций от s и t в прямоугольнике a ^s ^b, с ^t ^d. В частности система функций ^i(S) уh(t) является ортогональной и полной системой в области квадрата a ^s ^ a s^i ^b.
Если f(s, t) является непрерывной функцией от S и t в этом прямоугольнике, то имеет место условие полноты:
jj/2(s, Fdsdt = Yi t)(0>*{s' i)dsdt) •
Для доказательства исходим из соотношения:
сю
I /»(*, t)ds = Ys? (О,
I=I
где g. (t) = I f(s,t) Ifl (s) ds, выражающего полноту системы функций срг.
Так как ряд в правой части сходится равномерно1), то мы имеем право почленно интегрировать по t и получаем:
