Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
л ft /у ft ft ft
J V = X V = I V = I V = I
откуда
. я
YtZ^W- (7)
V = I
так как в правой части находится постоянное, не зависящее от п число, то
оо
(8)
V = I
Это основное неравенство, неравенство Бесселя, справедливо для любой ортогональной нормированной системы. Это неравенство доказывает сходимость ряда с неотрицательными членами, составленного из квадратов коэфициентов разложения, находящегося в левой части соотношения (8).
Для системы функций, принимающих комплексные значения, справедливо соответствующее соотношение:
oo
? к I2 <N/=(/,7), (8')
V = I
если под Cv разуметь коэфнциент разложения cv = (/, <pv).
Оно вытекает аналогично случаю действительных функций из неравенства:
2 п
dx = Nf-Y k!2s* 0.
V = I
Интегральное выражение, стоящее в левой части формулы (6) получается совершенно естественно, если поставить себе задачу аппроксимировать в смысле метода наименьших квадратовf данную функцию /(*) с помощью линейного аггрегата
п
Y Yvfv
V=I
с постоянными коэфициентами Yv и фиксированным числом слагаемых V так, чтобы „средняя квадратичная ошибка"
Af = J(/— SYv'fv)2^
была возможно меньше. Действительно, путем простого преобразования интеграла получаем тождество:
м== \ (/-\fidx+Y (Yv-O2-E
П/м-Еад
J I V = I 46
Задача о разложении в ряд произвольных функций Гл. II
из которого непосредственно следует, что минимум M достигается при Yv == Cv*
Если для любой кусочно-непрерывной функции / можно сделать наименьшую среднюю квадратичную ошибку
И'-іН'*
путем соответствующего выбора п меньше сколь угодно малого положительного числа, т. е. если можно каждую такую функцию аппроксимировать в смысле способа наименьших квадратов или, Как мы будем говорить, в ясреднем" с произвольной точностью, с помощью линейного
и
аггрегата E сч;pv с достаточно большим числом членов, то систему функ-
V = I
ций If1, ср2, ... мы будем называть „полной ортогональной системой функций".
На основании предыдущих рассуждений коэфициенты разложения C4 = (/сру) любой функции /удовлетворяют соотношению:
OD
(9)
V = I
которое мы будем называть „условием полноты
Это условие можно записать в более общем виде:
со
= (/,?). о')
V=I
где
Cv = (ZtPv). rfV = (^v). который получается, если применить формулу (9) к функции f+g'.
OO OO
W-f g) = Nf+ Ng+2 (/, = Y (cv+ d4f = E (cv + dI + 2cA)
V = I V = I
и затем вычесть соответствующие равенства для fug.
Впрочем, для полноты системы функций ср,,ср2,... достаточно, чтобы условие полноты (9) было выполнено для всех непрерывных функций /. В самом деле, всякая кусочно-непрерывная функция g может быть аппроксимирована с помощью непрерывной функции / так, чтобы интеграл jV—g)2dx имел сколь угодно малое значение. Такую функцию t
можно, например, построить следующим образом: представим себе кривую, изображающую функцию g; около каждой точки разрыва Xi этой функции отметим на кривой две точки с абсциссами Xi — 5 и Xi -+¦ O, где 8 можно выбирать сколь угодно малым; эту пару точек соединим прямолинейным отрезком и этим отрезком заменяем нашу кривую в каж- Ортогональные системы функций
47
дом таком интервале Если C1, а2,... представляют коэфициенты разложения функции g, a Cv с2...—коэфициенты разложения функции/,
то из того, что интеграл У/„Фу) dx может быть сделан путем
соответствующего выбора п сколь угодно малым, следует на основании неравенства Шварца справедливость аналогичного утверждения для интеграла:
M1 = ^r-Eс,<pvJdх = ^ (g-л+ (f-EcVT,)] dx. В самом деле,
Af- N(g-f) + N (f— E Cv ъ) + 2 (^g-f, /-E <cV fv) , следовательно,
Af < -/)+ -Ecv <f}j + 2 /AZ(^-Z)TV (/-2^7)-
Но
= )2^лг</И',
так как коэфициенты разложения ач для ^ дают наименьшую квадратичную ошибку. Таким образом условие полноты доказано и для функции /.
Следует обратить внимание на то, что из полноты системы функций If1, <р2,..., т. е. из равенства
OO
Ни в коем случая нельзя делать заключение, что/= E cv ?v> т- е* чт0
V = I
со
функция / разлагается в ряд по функциям tpv. Однако, если ряд cv <pv
V = I
равномерно сходится и мы можем поэтому сделать переход к предельной функции под знаком интеграла, то разложимость функции / очевидна. Полнота данной системы ^1, tp2,.. .является при этом, конечно, необходимым условием; действительно, выделив, например,- из полной системы одну функцию, мы видим, что все компоненты ее относительно остающейся неполной системы равны нулю. Но и для полной системы
') В самом деле, пусть M означает верхнюю грань xg (*)', a q — число точек разрыва функций g (х) в промежутке интегрирования, тогда в неравенстве
^if-g)tdx<8MiBq правую часть можно сделать сколь угодно малой при соответствующем выборе S- 48
Задача о разложении в ряд произвольных функций
Гл. II
функций <pj, <р2,... вопрос о разложимости функции / требует более подробного исследования, которое мы в дальнейшем (гл. V и VI) будем еще проводить в различных случаях.
