Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Курант Р. -> "Методы математической физики Том 1" -> 21

Методы математической физики Том 1 - Курант Р.

Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики Том 1 — Высшая школа, 1966. — 538 c.
Скачать (прямая ссылка): metodimatemat1966.djvu
Предыдущая << 1 .. 15 16 17 18 19 20 < 21 > 22 23 24 25 26 27 .. 202 >> Следующая


Задача о разложении в ряд произвольных функций

Гл. II

§ 1. ортогональньгє системы функций.

1. Определения. Под скалярным или внутренним произведением (/> ё) иш (tg) дчух функций /(*) и g{x) мы разумеем взятый по основной области интеграл1).

(/. g)=\fgdx. (1)

Это произведение удовлетворяет неравенству Шварца:

(f, g)2^(f, f)(g, g), (2)

которое так же, как и в случае векторов, либо вытекает из определенного положительного характера квадратичной относительно X функции

j*M-\-g)*dx,

либо же следует непосредственно из тождества:

(/. g)2 = U*f)(g, ?)-W^(S)-№g(x)]4xdb

знак равенства имеет место в том и только в том случяе, если / и g пропорциональны. Две функции;, скалярное произведение которых равно нулю, будем называть ортогональными. Скалярное произведение функции f(x) на самое себя будем называть нормом этой функции и писать так:

Nf=(f, f)=^fdx; (3)

функцию, норм которой равен единице, назовем нормированной функцией. Систему нормированных функций W7 (*), ф, (х), ... , в которой каждые две различные функции взаимно ортогональны, будем называть ортогональной нормированной системой, а характеризующие ее соотношения

('fv. Tp) = ^ Kv=1. ^li=0 ПРИ

назовем соотношениями ортогональности.

Пример ортогональной нормированной системы функций в интервале 0 ?=; лг sg; 2rt или вообще в любом интервале длины 2п представляют функции

1 COS X COS Ix sin X sin Ix

]/2Їт ' Vn ' j/тт " " ' J• j/п

Для функций действительного переменного, принимающих комплексные значения, удобно ввести обобщение понятия ортогональности.

О Мы в дальнейшем опускаем границы интегрирования там, где это не может привести к недоразумениям. Ортогональные системы функций

43

Две таких функции/(лг) и g(x) называются ортогональными, если имеют место соотношения:

if, і)=(7, g)=o,

причем / и g означают, как это обычно принято, сопряженные комплексные функции по отношению Kfag-

Функция /(х) называется нормированной, если

Простейший пример комплексной ортогональной системы представ вляют в интервале — тг ^ х =? тг показательные функции:

1 ёх е2,х

Tin* V2n' V^""'

что непосредственно видно из „соотношений ортогональности":

J- j = Є|И (e.;v = 1, ^v = 0 при ц ф V). (4)

— тг

Функции /,,..., /г называются линейно зависимыми, если они удовлетворяют тождественно относительно де однородному линейному соотношению

г

J=I

с постоянными коэфнциентами с,(г'=1, ... , /•), которые не все равны ную. В противном случае эти г функций называются линейно независимыми. Важно заметить, что функции ортогональной системы всегда линейно независимы. В самом деле, из соотношения

cItPi +??+---+??==0

следовало бы, если efo умножить на <pv и интегрировать, что C1- 0.

2. Ортогонализация функций. Из заданной бесконечной системы функций V1, V2, ... , обладающей тем свойством, что при любом г каждые г произвольно выбранных функций линейно независимы, можно при помощи „процесса ортогонализации" получить ортогональную нормированную систему функций Cp1, tp2, ... , выбирая fn как соответствующую линейную комбинацию функций Vj, ... , Vn. Сначала полагаем

vI

Vi= Л—. Y Nv1

Затем определяем любые два не обращающихся одновременно в нуль числа C1 и C2 так, чтобы функция tp^ = C1 <р, + C2V2 была ортогональной к <Pj, т. е, чтобы имело место равенство:

H+ cAb' ^e) = 0- 44

Задача о разложении в ряд произвольных функций

Гл. II

Функция f'2 в силу линейной независимости V1 и V2, а следовательно, и функций Cp1 и V2 не может тождественно равняться нулю. Таким образом

_

^'VW2

представляет нормированную функцию, ортогональную к Ip1. Далее, образуем функцию

tPg = cItPi + Фі + Фв»

выбирая три не равных одновременно нулю числа с*, с*, с*, удовлетворяющие двум линейным однородным уравнениям:

= < + = (^)=4 + 4(??) = 0-

В силу линейной независимости г»,, v2, v3, а вместе с тем и ф1, <р2, V3 функция фз не может равняться нулю тождественно, и потому

_ tPs

представляет нормированную функцию, ортогональную к <р, и <р2.

Продолжая неограниченно этот процесс, мы получаем искомую ортогональную систему функций с помощью рекуррентной формулы:

tP* 1 "

<Р«+1 = "Т^т= ' <Р'п+1 = - 2 Va(TA^i)-

Когда мы в дальнейшем будем говорить об ортогонализации, то мы всегда будем разуметь только что указанный процесс, который одновременно с ортогонализацией дает и нормирование, если только не будет явно указано нечто другое.

3. Неравенство Бесселя. Условие полноты системы. Аппроксимирование в среднем. Если дана ортогональная нормированная система функций If1, <р2, ... и любая функция /, то числа

= (V= 1, 2,...) (5)

называются коэфициентами разложения или компонентами функции / относительно заданной ортогональной системы1). Из непосредственно очевидного соотношения

И'-

dx^O (6)

О В связи с теорией рядов Фурье иногда употребляют также выражение „коэфициенты Фурье". Ортогональные системы функций

45

путем возведения в квадрат и почленного интегрирования получаем:
Предыдущая << 1 .. 15 16 17 18 19 20 < 21 > 22 23 24 25 26 27 .. 202 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed