Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
Задача о разложении в ряд произвольных функций
Гл. II
§ 1. ортогональньгє системы функций.
1. Определения. Под скалярным или внутренним произведением (/> ё) иш (tg) дчух функций /(*) и g{x) мы разумеем взятый по основной области интеграл1).
(/. g)=\fgdx. (1)
Это произведение удовлетворяет неравенству Шварца:
(f, g)2^(f, f)(g, g), (2)
которое так же, как и в случае векторов, либо вытекает из определенного положительного характера квадратичной относительно X функции
j*M-\-g)*dx,
либо же следует непосредственно из тождества:
(/. g)2 = U*f)(g, ?)-W^(S)-№g(x)]4xdb
знак равенства имеет место в том и только в том случяе, если / и g пропорциональны. Две функции;, скалярное произведение которых равно нулю, будем называть ортогональными. Скалярное произведение функции f(x) на самое себя будем называть нормом этой функции и писать так:
Nf=(f, f)=^fdx; (3)
функцию, норм которой равен единице, назовем нормированной функцией. Систему нормированных функций W7 (*), ф, (х), ... , в которой каждые две различные функции взаимно ортогональны, будем называть ортогональной нормированной системой, а характеризующие ее соотношения
('fv. Tp) = ^ Kv=1. ^li=0 ПРИ
назовем соотношениями ортогональности.
Пример ортогональной нормированной системы функций в интервале 0 ?=; лг sg; 2rt или вообще в любом интервале длины 2п представляют функции
1 COS X COS Ix sin X sin Ix
]/2Їт ' Vn ' j/тт " " ' J• j/п
Для функций действительного переменного, принимающих комплексные значения, удобно ввести обобщение понятия ортогональности.
О Мы в дальнейшем опускаем границы интегрирования там, где это не может привести к недоразумениям.Ортогональные системы функций
43
Две таких функции/(лг) и g(x) называются ортогональными, если имеют место соотношения:
if, і)=(7, g)=o,
причем / и g означают, как это обычно принято, сопряженные комплексные функции по отношению Kfag-
Функция /(х) называется нормированной, если
Простейший пример комплексной ортогональной системы представ вляют в интервале — тг ^ х =? тг показательные функции:
1 ёх е2,х
Tin* V2n' V^""'
что непосредственно видно из „соотношений ортогональности":
J- j = Є|И (e.;v = 1, ^v = 0 при ц ф V). (4)
— тг
Функции /,,..., /г называются линейно зависимыми, если они удовлетворяют тождественно относительно де однородному линейному соотношению
г
J=I
с постоянными коэфнциентами с,(г'=1, ... , /•), которые не все равны ную. В противном случае эти г функций называются линейно независимыми. Важно заметить, что функции ортогональной системы всегда линейно независимы. В самом деле, из соотношения
cItPi +??+---+??==0
следовало бы, если efo умножить на <pv и интегрировать, что C1- 0.
2. Ортогонализация функций. Из заданной бесконечной системы функций V1, V2, ... , обладающей тем свойством, что при любом г каждые г произвольно выбранных функций линейно независимы, можно при помощи „процесса ортогонализации" получить ортогональную нормированную систему функций Cp1, tp2, ... , выбирая fn как соответствующую линейную комбинацию функций Vj, ... , Vn. Сначала полагаем
vI
Vi= Л—. Y Nv1
Затем определяем любые два не обращающихся одновременно в нуль числа C1 и C2 так, чтобы функция tp^ = C1 <р, + C2V2 была ортогональной к <Pj, т. е, чтобы имело место равенство:
H+ cAb' ^e) = 0-44
Задача о разложении в ряд произвольных функций
Гл. II
Функция f'2 в силу линейной независимости V1 и V2, а следовательно, и функций Cp1 и V2 не может тождественно равняться нулю. Таким образом
_
^'VW2
представляет нормированную функцию, ортогональную к Ip1. Далее, образуем функцию
tPg = cItPi + Фі + Фв»
выбирая три не равных одновременно нулю числа с*, с*, с*, удовлетворяющие двум линейным однородным уравнениям:
= < + = (^)=4 + 4(??) = 0-
В силу линейной независимости г»,, v2, v3, а вместе с тем и ф1, <р2, V3 функция фз не может равняться нулю тождественно, и потому
_ tPs
представляет нормированную функцию, ортогональную к <р, и <р2.
Продолжая неограниченно этот процесс, мы получаем искомую ортогональную систему функций с помощью рекуррентной формулы:
tP* 1 "
<Р«+1 = "Т^т= ' <Р'п+1 = - 2 Va(TA^i)-
Когда мы в дальнейшем будем говорить об ортогонализации, то мы всегда будем разуметь только что указанный процесс, который одновременно с ортогонализацией дает и нормирование, если только не будет явно указано нечто другое.
3. Неравенство Бесселя. Условие полноты системы. Аппроксимирование в среднем. Если дана ортогональная нормированная система функций If1, <р2, ... и любая функция /, то числа
= (V= 1, 2,...) (5)
называются коэфициентами разложения или компонентами функции / относительно заданной ортогональной системы1). Из непосредственно очевидного соотношения
И'-
dx^O (6)
О В связи с теорией рядов Фурье иногда употребляют также выражение „коэфициенты Фурье".Ортогональные системы функций
45
путем возведения в квадрат и почленного интегрирования получаем: