Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
Бесконечно малое преобразование с матрицей E + (еу/А) можно представить в виде произведения вращения и растяжения; объемное
п
расширение равно є У у»-
6. Вариированные системы. Для теории малых колебаний имеет важное значение вопрос: как изменяются собственные значения и собственные векторы квадратичной формы
п
К(Х, X) = YbIKxIxV (,?=1
если вариировать и единичную форму Е(х, х) и форму К(х, х), т. е. §5
Дополнения и задачи к первой главе
37
если одновременно преобразовать к каноническому виду формы E (лг, х) єА (*, х) и E (х, лг) -J- є В (х, х) (см. п. 3), где
п п
А (*, X) = Y ZlkXlXk, В(*, X) = Y
IJt= 1 i,k= 1
а є — параметр. Полагаем
п п
К (X, х) + єВ (ЛГ, х) = Y Е (*» х) + 6А (*» *) = Y aikxixk'
/,a = i іjt= 1
тогда уравнения, служащие для определения компонент собственных векторов (см. стр. 35), имеют вид:
і= о с=1.....">>
a=i
причем р' определяется из уравнения, получающегося приравниванием нулю соответствующего определителя и имеющего п действительных корней.
Обозначим характеристические числа К(х, х) через р3, р2, ... рп, причем предполагаем, что все они между собой различны; соответствующие значения для вариированной системы обозначим через Pj, p'v ... р'п. Мы можем тогда принять, что исходная форма К(х, х) задана в виде суммы квадратов:
К(х, X) = P1X21 + p2xl -f ... рпх2п.
Величины р'., являясь простыми корнями алгебраического уравнения, представляют в окрестности точки S = O однозначные аналитические функции от е; это же справедливо н для компонент Xhk вариированных собственных векторов, соответствующих характеристическим лислам p'h. Следовательно, величины р'. и x'hk можно искать в виде степенных рядов, расположенных по степеням е, свободные члены которых, конечно, соответственно равны pt и Xflf,. Для того чтобы последовательно определить коэфициенты при є, є2, ... , подставляем эти ряды в уравнения
п
a=i
в которых, кроме того, надо положить b'ik = blk-f- e?/fe, a'jk — elk -{- ва1к, где §и=р(., bjk = 0 {і ф k), efl= 1, elk=0 k). Располагая по степеням є и приравнивая нулю коэфициенты при этих степенях, получаем бесконечную последовательность уравнений. Вполне эквивалентным, но несколько более удобным является следующее рассуждение, в котором є рассматривают как величину бесконечно малую. Именно, рассмотрим ИЗ предыдущих уравнений для компонент го собственного вектора IO
Алгебра линейных преобразований
Гл. I
А-е уравнение (г = A), в нем все слагаемые с точностью до бесконечно-малых второго порядка относительно є равны нулю:
Рассмотрение уравнений при і А, в которых все члены, кроме двух, представляют бесконечно-малые второго порядка, дает с точностью до бесконечно-малых второго порядка:
г' _і. V-'__&tPh $th
;т * ы~ "р^Г'
так как сумма 5]-*?=!.
Пользуясь этими значениями компонент собственных векторов, мы можем очень легко вычислить собственные значения с точностью до бесконечно-малых третьего порядка. Рассмотрим опять уравнение для компонент А-го собственного вектора, получающееся при і = A:
H = і
Отбрасывая в левой части величины третьего порядка относительно є и уединяя член, для которого A=A, получаем:
W —о'а' —-Y \(Ь' — о V \aKhph~hh _ у' (g*ftPft ~ Ma .
отсюда следует, что
р;=pft - № p»«ftft)+ (-«Рй—.
k pft pft
При этом штрих, поставленный у знака суммы, означает, что суммирование распространяется иа все значения А от 1 до п, кроме значения A = A.
7. Наложение связи.
Y1*! + -..+ YA=0
и связанное с этим уменьшение числа переменных квадратичной формы
п
К (лг, х) = ]Г kpqxpXq
P :9 = 1
можно представить себе осуществленным прн помощи непрерывного процесса, а именно рассматриваем квадратичную форму
К(х, X)-}-+ ,..+ YA)2-
где t — положительный параметр. Если t неограниченно возрастает, то и каждое из характеристических чисел монотонно возрастает. В частности наибольшее из характеристических чисел возрастает неограниченно, между тем как остальные переходят в характеристические числа квад- §5
Дополнения и задачи к первой главе
39
ратичной формы, получающейся из К(х, х) исключением одной пере* менной при помощи соотношения y1at1 -J- ... YnXn= 0.
8. Элементарные делители матрицы или билинейной формы. Пусть ЗЇ тензор, А = (ott) — соответствующая матрица. Тогда полином
х-A11 — ?12 аЛп
•/. E —Л | — — Д21 K-A22 ... о-2п
— аШ — °П2 ... X апп
разлагается по известным правилам, которые мы здесь приводить не станем, на „элементарные делители":
(X — (X — г2)"\ ..., (X - rhYh,
причем среди чисел гг, г2, ... , rh могут быть и равные между собой. Каждому элементарному делителю (х—rjfv соответствуют ev векторов f М, f2v>, ... , f , для которых имеют место равенства:
Stff^f?); Stf^^^f^-ff^..... SifM =
При этом п векторов
f(l) ?(1). f(2) ?(2). . f(ft) t(h) 'I'"'' I e, ' Il ..... 1 e% > • • • ' Il » " * * і еь,
линейно независимы. Если ввести новые переменные ... , приняв эти векторы за единичные векторы новой системы, то матрица А превратится в матрицу:
