Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
3. Обобщение на эрмитовы формы. Совершенно аналогичным образом можно провести преобразование к главным осям и
і) Уравнение (30) обыкновенно называют „уравнением вековых возмущений" (Sakulargleichung), так как оно встречается в задаче вековых планетных возму-
щений. Для прямого доказательства теоремы о действительности корней см., например, соответствующее рассуждение в гл. III, § 4, п. 2, § 3 Преобразование к главным осям квадратичных и эрмитовых форм 25
эрмитовых форм. Эрмитову форму:
п
H (Х,Х) =Yhpg x^g
р,д=1
с матрицей H=H1 можно всегда преобразовать с помощью унитарного преобразования
п
Xp=YlqPy4 (P=1.....")
д=1
к виду:
п п
н (*>*) = Y %р УрУр=Y %Р і уР\2'
p=i р=і
где все коэфициенты Xp— действительные числа. Характеристические числа Xm опять являются наибольшими значениями, эрмитовой формы Н(х, х) при условии
IlKI2 = I
и
п
Y1IPlcP=0 «—і).
P=I
4. Закон инерции квадратичных форм. Еслн отказаться от требования ортогональности искомого линейного преобразования, то квадратичную форму можно различным образом привести к виду, при котором входят только квадраты переменных. • Например, если выполнить данное ранее ортогональное преобразование и затем сделать любое преобразование подобия, т. е. преобразование, при котором каждая переменная умножается только на некоторый множитель пропорциональности, то получим опять выражение такого же вида, В частности, следовательно, можно достигнуть того, чтобы все (действительные) коэфициенты формы имели значения -f-1 или — 1. При этом имеет место следующая теорема, называемая законом инерции квадратичных форм.
Число положительных и отрицательных коэфициентов, которые получаются при действительном и обратимом преобразовании квадратичной формы в выражение, состоящее только из квадратов, не зависит от частного характера этого преобразования.
Доказательство. Положительные и отрицательные коэфициенты могут быть, как было указано, сделаны равными соответственно -}-1 и — 1. Если бы квадратичная форма К(х, х) двумя различными действительными преобразованиями приводилась соответственно к виду
У\+---+У*г—У2г+1—' ' Уп
где r<^S, то в силу соотношения п+ - - - +-V2r--V^x -. -. +... +Z2-^1-... - ^2 IO
Алгебра линейных преобразований Гл. I
или
У\ + . -. +3? + ?* + ... +zj==^rf- ... +yl+z\ + ...+Ti
из системы уравнений JZ1 = ... = yr=zs+1 = ...=zn =0 вытекало бы обращение в нуль и остальных уу, Так как система однородных уравнений содержит менее п уравнений, то непременно существует отличный от нуля вектор J, удовлетворяющий этой системе; но этот вектор не может удовлетворять системе п однородных уравнений ^ = O с определителем, не равным нулю.
5. Выражение для резольвенты формы. Резольвента квадратичной формы К(х, х) на основании изложенного в этом параграфе также легко может быть приведена к удобному виду, если согласно § 2 определить ее с помощью символического равенства:
К(д. х. })=JE(*, х) — 1К(х, *)]-»—?(*, х)^
Представим себе, что форма К(х, х) путем преобразования к главным осям приведена к виду:
" у2
К(х, х) = Ху>
P=i P
тогда резольвента формы
v2
Sf'
,.Л
должна совпасть с резольвентой формы К (лс, х), так как [Е(х, х) — — XK {лг, лг)]"*1 переходит при преобразовании в
Далее, имеем: 1
J
\Е(У, »-xf^T1.
l p=ipj
У2
-yP
x-x
lp jlp j p=1 p
Если преобразовать здесь снова к переменным хр, то получим, пользуясь обозначениями (19), резольвенту К(лг, х; X) формы К(х, х) в виде:
P=I р § 3
Преобразование к главным осям квадратичных и эрмитовых форм
27
или, возвращаясь к билинейной форме:
" L'(и) L'(X) К (и, X) = 2 - (32)
p=i P
Между прочим, это выражение обнаруживает, что вычет рациональ- . иой относительно X функции К (и, х; X) в точке X = Xp равен
-Cp(U) Ср(х),
если предполагать, что Xp=^=Xq при p=/=q.
6. Решение системы линейных уравнений, соответствующей данной форме. В заключение выразим решение системы линейных уравнений:
п
хр — 1^кряхя=ур (P==I....,"). (33)
?=1
соответствующей квадратичной форме:
п
К(Х, X)= 2 kPQxPx9' Р, S = I
с помощью собственных векторов.
Применим к переменным X1 и yt преобразование к главным осям:
п
xP=yLlIPu* 9=i п
уP=L1IPvI-
?=1
причем форма К (лг, лг) примет вид:
п
L^uI' ?=1
тогда наша система уравнений (33) переходит в систему:
up — Xrpup = vp (/?=1,...,/г), (34)
решением которой является:
V V X
"'=^rrzi=v^'- ,35) \
В первоначальных переменных решение выражается эквивалентной формулой:
MLlpj (36) hP IO
Алгебра линейных преобразований
Гл. I
в которой оно развернуто по собственным векторам I1, ... , In формы К(х, х). При этом полагаем
<7=1
Собственный вектор Ip является нормированным решением системы однородных уравнений:
п
Xq—\LkgrXr=Q
г=1
или
Uq — lp\Uq = Q (0=1,. ..,И).
Если при q=/=p все х не равны х = , то »имеется только одно
1P
нормированное решение:
hP=1' \=0 (яФР)
или
