Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
S=V
Если среди характеристических чисел имеются равные между собой, то собственные векторы определяются неоднозначно.
§ 4. Минимально-максимальное свойство собственных
значений.
1. Определение характеристических чисел с помощью задачи о наименьшем значении максимума. Выше мы ввели характеристические числа с помощью ряда задач на нахождение максимума, причем в каждой предполагалось решение предыдущей. Теперь же, предполагая, что характеристические числа расположены в порядке убывания, покажем, как можно непосредственно охарактеризовать h-e характеристическое число как решение несколько иной задачи, в которой не приходится ссылаться на решение предыдущих задач.
Требуется найти наибольшее значение формы:
а
К(Х, X)= 2 kpqxpxq, р, д=1
если кроме условия
я
yLxI=1 (25)
p=i
должны выполняться еще h—1 уравнений:
п
Zavp*p=0 (V= 1, ... , h — 1; й<вЬ (37)
P=і §4
Минимально-максимальное свойство собственных значений
29
Далее, требуется, чтобы этот максимум, представляющий функцию параметров avp, путем соответствующего выбора этих параметров принял наименьшее возможное значение.
Преобразование к главным «сям приводит форму К(х, х) к виду:
п
Lbrf (X1 Ss . . . Ss Xb),
P=1
условие (25) — к виду:
п
Ly2p=1' <38>
p=i
а уравнения (37) — к виду:
п
emp = 0' <39>
р=1
где pvp — новые параметры. Выбрав
Л+і=-- - =-Уя=°>
получаем, каковы бы ни были ?vp, A—1 однородных уравнений (39) для А неизвестных J1, ... , _yft; всегда можно подобрать систему значений, удовлетворяющую этим уравнениям и уравнению (38). Для этих значений имеем:
К (*, *) = *,>;+...+ Xftу\ S3 Xft (у\ + ... -J- j2) = Xft.
Следовательно, искомый максимум при любой системе ?vp не может быть меньше %h. Но этот максимум как раз становится равным Xft, если за систему (37) взять уравнения:
J1=... =Jft-I = O.
Таким образом получаем:
А-е характеристическое число lXh квадратичной формы К{Х, л:) есть наименьшее значение, которое может иметь максимум К{х, х), когда кроме условия
LxI=1 р=і
заданы еще h — 1 произвольных линейных однородных уравнений между числами хр.
2. Применения. На основании этого свойства характеристических чисел особенно легко выяснить, как они изменяются, когда на переменные налагаются / независимых „связей":
и
Li Чир хр = Q (*=!,..., /), (40)
p=i
так что К(х, х) сводится к квадратичной форме К(х, х) от п—/' IO
Алгебра линейных преобразований Гл. I
независимых переменных. А-е характеристическое число Xh предстанляет решение той же задачи о минимуме максимума, что и Xh, но условием (40) совокупность допустимых систем значений JC1, ... , хп суживается.
Поэтому отдельные максимумы, а вместе с тем характеристическое —
число для К{х, х) не может превосходить соответствующего числа для формы К(х, дс).
Далее, y.j+h является наименьшим максимумом, который может принять форма К(х, х), когда, кроме условия (25), заданы еще A-J-/—1 линейных однородных уравнений для хр, и потому Xjjfh ие может
быть больше, чем Xh, для которого і из этих уравнений даны системой (40).
-v.
Следовательно, Xhm^ Xh^ xj+h, или словами: если квадратичная форма К(х, х) от п переменных при j независимых линейных однородных связях переходит в квадратичную форму К (х, х) от п—j
переменных, то характеристические числа Xv____ хя_;- не больше
соответствующих чисел ряда X1, ... , xn_j и не меньше соответствующих чисел ряда Xj+Л, ... , Xn1).
Если в частности взять J=I и выбрать в качестве линейной связи условие Xn = 0, то форма К(х, х) переходит в (л—1)-ю усеченную форму, и мы получаем теорему:
А-е характеристическое число (п—1)-йусеченной формы не больше А-го характеристического числа и не меньше (ft-j-l)-ro характеристического Числа первоначальной формы.
Применяя нашу теорему к (п — 1)-й усеченной форме, мы получаем соответствующую теорему для характеристических чисел (п—2)-й усеченной формы и т. д. Вообще мы видим, что характеристические числа двух последовательных усеченных форм данной квадратичной формы распределяются по величине указанным образом.
Подобным же образом имеем: если к форме К(х, х) прибавить форму, не принимающую никогда отрицательных значений, то характеристические числа суммы не меньше соответствующих чисел формы К(х, X).
Вместо того чтобы для определения характеристических чисел пользоваться задачей о наименьшем значении максимума, можно было бы с таким же успехом взять за исходный пункт задачу о наибольшем значении минимума. Тогда опять получаются числа Xh, только в обратном порядке.
Предоставляем читателю формулировать и доказать свойство наименьшего значения максимума для характеристических чисел эрмитовых форм.
*) Для пояснения изложенных рассуждений сделаем следующее замечание. Если пересечь трехосный эллипсоид плоскостью, проходящей через его центр, то большая ось эллипса, полученного -в сечении, заключается между большой и средней осью эллипсоида, а малая ось эллипса заключается между средней и ма* лои осью эллипсоида. Дополнений и задачи к первой главе
