Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
31
§ 5. Дополнения и задачи к первой главе.
1. Линейная независимость и определитель Грама. Вопрос о линейной зависимости т данных векторов D1, ... , Dm можно формально очень просто решить, не прибегая, как это обычно делают, к установлению ранга матрицы компонент, следующим образом. Рассмотрим квадратичную форму:
т
G (х, X) = (X1)S1 + ...+хт Dm)2 = 2 (И/ »*)
/,A=I
Несомненно, G (X, х) ^s= 0, а векторы Dy линейно зависимы в том и только в том случае, когда существует система значений переменных X1, ... , хт, удовлетворяющая условию:
(25')
I=I
и при которой G(xt х) = 0. Следовательно, для того чтобы имела место линейная зависимость, минимум формы G(x, лґ) при условии (25') непременно должен равняться нулю. Но этот минимум представляет наименьшее характеристическое число квадратичной формы К(х, х), т. е. наименьший корень уравнения:
(41)
Df-X (D1D2).
(D2D1) D2-Х. --(D2Dj = 0
(*>«»і) (*>«А) • ¦ • 0S,-'11 Ttl
Итак: необходимым и достаточным условием линейной зависимости векторов D1, ... Dm является обращение в нуль „определителя Грама"
Df (D1D2) ... (D1Dm) (D2D1) Df --.(D2Dm)
Г=
(»«л)(»>«)-" K1
(42)
Если расположить левую часть уравнения (41), которому удовлетворяют все (неотрицательные) характеристические числа X1, ... ,Xm формы К(х, х), по степеням X, то свободный от X член равен Г, а коэфи-циент при Xm равен (—\)т. По известной теореме алгебры имеет место, следовательно, соотношение:
Г — Xj * • • X^t
(43)
Итак, определитель Грама любой системы т векторов не может иметь отрицательного значения. Соотношение
Г= I (DzDft) I ^ 0, (44) IO
Алгебра линейных преобразований Гл. I
в котором знак равенства может иметь место лишь для линейно зави-
симых векторов o,, .. Шварца (стр. 2):
Bm, представляет обобщение неравенства
(ol»2)2 =
of (? os)
(»2 Ol) »5
¦о.
Значение определителя Грама или также наименьшее характеристическое число Xm формы G(x, де) представляет меру линейной независимости векторов O1,___, Bm. Чем меньше это число, тем более „плоской" является ffz-мерная фигура, составленная этими векторами; если эта мера независимости равна нулю, то число измерений фигуры не более т — 1. Впрочем, определителю Грама можно легко приписать геометрическое значение. Этот определитель равен кйадрату /«!-кратного объема /га-мерной геометрической фигуры, образуемой векторами B1,...,Bm, следовательно, например, при т = 2 равен квадрату удвоенной площади треугольника, построенного на векторах S1 и B2.
Разумеется, критерий Грама для линейной зависимости должен быть эквивалентен обычному критерию, гласящему, что векторы линейно зависимы в том и только в том случае, когда все определители т-го порядка, которые можно выделить из прямоугольной таблицы компонент
V11 V12 ... Vln
®91 • • • rV0r1
Vna VmZ • • • vmn
равны нулю. В самом деле, по известной теореме теории определителей:
vZSi V2 S1 • • • vZsm
"vOist Vmst • • • "vHtsnl
(45)
где суммирование распространяется ,на все целые значения S1, S2, ... ,Sm от 1 до п, причем S1 < S2 <... <С Sm.
2. Теорема Адамара (Hadamard) об оценке определителя. Для любого определителя:
O11 а12 • • aIrt
Л i i aZI ^22 • • aZn
aM ап2 • • апп
с Действительными элементами aik справедлива оценка
А2:
ik'
(46)
/= і k=i §5
Дополнения и задачи к первой ґлайе
33
Доказательство. Будем изменять элементы alk, однако, так, чтобы суммы квадратов я
2 eSk = eZ (і=1,...,и)
A=I
оставались неизменными. Если A2mix представляет наибольшее значение, которое может иметь функция А2 элементов а1Ь при этих п условиях (из теоремы Вейерштрасса, приведенной на стр. 21, непосредственно следует, что такое наибольшее значение непременно должно быть получено для некоторого определителя /Iniax), то элементы /Imax в каждой строке должны быть пропорциональны соответствующим минорам. В самом деле, при любом выборе А имеем:
А — аыАы • • • ~Ь aiinAtm> следовательно, на основании неравенства Шварца (стр. 2) находим:
A=1 A = I
если при этом числа а№ не пропорциональны числам Ahk, то значение А2, безусловно, не будет наибольшим, так как в этом случае имеет место знак неравенства, между тем путем изменения п величин ahk (A = I,...-, п) мы можем, не меняя чисел Ahk и числа cft, сделать квадрат определителя равным правой части.'
Умножая определитель /Imax на себя самого по правилу умножения определителей, мы получаем:
^nue=FH
J=I
так как скалярные произведения двух различных строк равны нулю в силу только что доказанной пропорциональности, как" это следует из элементарных теорем теории определителей. Поэтому для первоначального определителя А справедливо соотношение:
J=I /=IA=i
Геометрически теорема Адамара означает, что объем параллелепипеда, построенного в я-мерном пространстве на п векторах данной длины, будет наибольшим, когда векторы взаимно перпендикулярны.
Оценка Адамара справедлива и при комплексных значениях aik, если вместо А и aik подставить их абсолютные значения.
