Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
E T T2
(Xf-TT1=- + -^--Ь^-Ь...
X3§2
Линейные преобразования с линейным параметром
19
Из этого разложения можно получить интересное следствие. Так как левая часть, на основании предыдущего, является, рациональной функцией от X с знаменателем <р(х), то форма <р (у.) ('/. E—Т)~г должна быть целой рациональной функцией от х, и следовательно, ее разложение по степеням X не может содержать отрицательных степеней. Поэтому, если мы умножим предыдущее равенство на w ('/.) = у." f c1'/.""1 -J- ... ... -f- сп, то в правой части должно будет получиться выражение, в котором Hte коэфициенты при отрицательных степенях X равны нулю. Коэфициент при х-1, как легко видеть, равен выражению Tn-I-CjZn-1-J- ... -J- спЕ, и мы получаем, таким образом, теорему Кэли (Cayley):
Если <р(у.) есть определитель матрицы г. E—Т, то матрица T удовлетворяет соотношению:
<р (T) = O.
Другой важный факт относительно спектра, представленного с помощью характеристических чисел X1 ... хп, выражает следующая теорема:
Если X1, ... , х„ представляют характеристические числа матрицы Т, a g (х) — произвольная целая рациональная функция от х, то характеристическими числами матрицы g(T) будут
^(x1), ?(x2)1 ... , g(%n).
Для доказательства мы исходим из тождества:
п
\ъЕ — ГI = <р (х) — П (х — xv).
V=X
Целью нашей является доказать соотношение:
п
|x?-^(7) I = П[х-^(хч)].
V=I
Пусть h (лг) — произвольная целая рациональная функция степени г, которая с помощью ее корней хг, ... , Xr представлена в следующем виде:
T
h(x) = aY\{x— хр).
P=i
Тогда для произвольной матрицы T имеет место тождество:
г
h (T) = аП (T-XeE).IO
Алгебра линейных преобразований
Гл. I
Переходя к определителям, имеем:
T г
1А(7*) I = с" ПI T— х?Е| = (— 1 )пгап П IX9E- T| =
р=1 Р=1
г г п
= ( - 1 га" П ч- (*р) = ( — 1 Га" п (П (хе - xv)) =
P = I P = I V = I
п г п
= (- 1)-(-1)"?" п (П<*,--*,))=Пл (*,)]•
V = I P=I V = I
Подставляя теперь вместо h(T) функцию ЖЕ—g(T), непосредственно получаем искомое равенство:
п
V = I
§ 3. Преобразование к главным осям квадратичных и
эрмитовых форм.
Особенно важной главой алгебры является теория линейного преобра-
п
зования квадратичной формы К(х, х)= Yd pqxpxq к ВИДУ:
р> ?=i
п
К(х, =
P=1
т. е. к виду, при котором переменные входят только в виде квадратов. В первую очередь мы займемся задачей о преобразовании к такому виду квадратичной формы К(х, х) с помощью ортогонального преобразования:
п
xP=Y1P^ I = 1P^ (р=1,...,л).
д=1
Эта задача, к которой, часто приводят вопросы геометрии, механики и теории колебаний, называется задачей о преобразовании к главным осям, а искомое линейное преобразование — преобразованием к главным осям.
1. Проведение преобразования к главным осям на основании принципа максимума. Теперь мы докажем, что. заданную квадратичную форму К(х, х) всегда возможно преобразовать к главным осям. При этом мы будем опираться на тот факт, что непрерывная функция от многих переменных, изменяющихся в некоторой§ 3 Преобразование к главным осям квадратичных и эрмитовых форм 21
ограниченной замкнутой области, принимает в этой области наибольшее значение (теорема Вейерштрасса) 1J.
Ввиду этого существует такой единичный вектор I1 с компонентами In,..., Iln, что К(х, х) принимает наибольшее значение X1, при Xj = In, ... , Xn = Iln, при добавочном условии:
tl
Х4=1- <25>
P=1
Геометрически вектор I1 определяет на „единичной сфере" (25) точку, которая в то же время лежит на одной из поверхностей семейства центральных поверхностей второго порядка К(х, х) = const, касающейся единичной сферы.
Далее, существует ортогональный к 'I1 единичный вектор I2 с компонентами I21,..., I2n, такой, что К(х, х) при X1 = I21,..., Xn = I2n принимает наибольшее значение х2, которое только возможно, если к условию (25) присоединить условие:
п
DVp = 0- (26)
P=і
И здесь непосредственно ясно, что для фигуры, получающейся от пересечения единичной сферы с „плоскостью", ортогональной к вектору I1, можно решить ту же задачу, решение которой для всей единичной сферы дается вектором I1.
Далее, существует такой единичный вектор I3, ортогональный к векторам I1 и I2, с компонентами Z31,..., I3n, что К(х, х) в конечной точке этого вектора принимает наибольшее значение X3, которое возможно при дополнительных условиях (25), (26) и
tl
Y1*PXP= (27)
p = i
Продолжая поступать таким образом, мы придем к системе п взаимно ортогональных векторов I1,..., ..., In, которые мы будем называть векторами главных осей или собственными векторами-, компо-
1) Преобразование к главным осям можно очень легко провести также непосредственно алгебраически, если искать такую ортогональную матрицу L, чтобы
L1KL = D была диагональной матрицей с диагональными элементами v.,,.. ./г.....к„.
Из условия KL=-LD получаем для коэфициентов преобразования Iqi уравнения:
? kpqtqi — Ipit-I•
я
зи которых прежде всего числа хг определяются как корни уравнения (30), которое будет позже выведено; далее, на основании простых алгебраических соображений получается ортогональная система ri2 величин Iqi. Приведенный в тексте метод доказательства имеет по сравненяю с алгебраическим то важное для дальнейшего преимущество, что он применим к обширному классу трансцендентных проблем.IO