Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Курант Р. -> "Методы математической физики Том 1" -> 13

Методы математической физики Том 1 - Курант Р.

Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики Том 1 — Высшая школа, 1966. — 538 c.
Скачать (прямая ссылка): metodimatemat1966.djvu
Предыдущая << 1 .. 7 8 9 10 11 12 < 13 > 14 15 16 17 18 19 .. 202 >> Следующая


E T T2

(Xf-TT1=- + -^--Ь^-Ь...

X3 §2

Линейные преобразования с линейным параметром

19

Из этого разложения можно получить интересное следствие. Так как левая часть, на основании предыдущего, является, рациональной функцией от X с знаменателем <р(х), то форма <р (у.) ('/. E—Т)~г должна быть целой рациональной функцией от х, и следовательно, ее разложение по степеням X не может содержать отрицательных степеней. Поэтому, если мы умножим предыдущее равенство на w ('/.) = у." f c1'/.""1 -J- ... ... -f- сп, то в правой части должно будет получиться выражение, в котором Hte коэфициенты при отрицательных степенях X равны нулю. Коэфициент при х-1, как легко видеть, равен выражению Tn-I-CjZn-1-J- ... -J- спЕ, и мы получаем, таким образом, теорему Кэли (Cayley):

Если <р(у.) есть определитель матрицы г. E—Т, то матрица T удовлетворяет соотношению:

<р (T) = O.

Другой важный факт относительно спектра, представленного с помощью характеристических чисел X1 ... хп, выражает следующая теорема:

Если X1, ... , х„ представляют характеристические числа матрицы Т, a g (х) — произвольная целая рациональная функция от х, то характеристическими числами матрицы g(T) будут

^(x1), ?(x2)1 ... , g(%n).

Для доказательства мы исходим из тождества:

п

\ъЕ — ГI = <р (х) — П (х — xv).

V=X

Целью нашей является доказать соотношение:

п

|x?-^(7) I = П[х-^(хч)].

V=I

Пусть h (лг) — произвольная целая рациональная функция степени г, которая с помощью ее корней хг, ... , Xr представлена в следующем виде:

T

h(x) = aY\{x— хр).

P=i

Тогда для произвольной матрицы T имеет место тождество:

г

h (T) = аП (T-XeE). IO

Алгебра линейных преобразований

Гл. I

Переходя к определителям, имеем:

T г

1А(7*) I = с" ПI T— х?Е| = (— 1 )пгап П IX9E- T| =

р=1 Р=1

г г п

= ( - 1 га" П ч- (*р) = ( — 1 Га" п (П (хе - xv)) =

P = I P = I V = I

п г п

= (- 1)-(-1)"?" п (П<*,--*,))=Пл (*,)]•

V = I P=I V = I

Подставляя теперь вместо h(T) функцию ЖЕ—g(T), непосредственно получаем искомое равенство:

п

V = I

§ 3. Преобразование к главным осям квадратичных и

эрмитовых форм.

Особенно важной главой алгебры является теория линейного преобра-

п

зования квадратичной формы К(х, х)= Yd pqxpxq к ВИДУ:

р> ?=i

п

К(х, =

P=1

т. е. к виду, при котором переменные входят только в виде квадратов. В первую очередь мы займемся задачей о преобразовании к такому виду квадратичной формы К(х, х) с помощью ортогонального преобразования:

п

xP=Y1P^ I = 1P^ (р=1,...,л).

д=1

Эта задача, к которой, часто приводят вопросы геометрии, механики и теории колебаний, называется задачей о преобразовании к главным осям, а искомое линейное преобразование — преобразованием к главным осям.

1. Проведение преобразования к главным осям на основании принципа максимума. Теперь мы докажем, что. заданную квадратичную форму К(х, х) всегда возможно преобразовать к главным осям. При этом мы будем опираться на тот факт, что непрерывная функция от многих переменных, изменяющихся в некоторой § 3 Преобразование к главным осям квадратичных и эрмитовых форм 21

ограниченной замкнутой области, принимает в этой области наибольшее значение (теорема Вейерштрасса) 1J.

Ввиду этого существует такой единичный вектор I1 с компонентами In,..., Iln, что К(х, х) принимает наибольшее значение X1, при Xj = In, ... , Xn = Iln, при добавочном условии:

tl

Х4=1- <25>

P=1

Геометрически вектор I1 определяет на „единичной сфере" (25) точку, которая в то же время лежит на одной из поверхностей семейства центральных поверхностей второго порядка К(х, х) = const, касающейся единичной сферы.

Далее, существует ортогональный к 'I1 единичный вектор I2 с компонентами I21,..., I2n, такой, что К(х, х) при X1 = I21,..., Xn = I2n принимает наибольшее значение х2, которое только возможно, если к условию (25) присоединить условие:

п

DVp = 0- (26)

P=і

И здесь непосредственно ясно, что для фигуры, получающейся от пересечения единичной сферы с „плоскостью", ортогональной к вектору I1, можно решить ту же задачу, решение которой для всей единичной сферы дается вектором I1.

Далее, существует такой единичный вектор I3, ортогональный к векторам I1 и I2, с компонентами Z31,..., I3n, что К(х, х) в конечной точке этого вектора принимает наибольшее значение X3, которое возможно при дополнительных условиях (25), (26) и

tl

Y1*PXP= (27)

p = i

Продолжая поступать таким образом, мы придем к системе п взаимно ортогональных векторов I1,..., ..., In, которые мы будем называть векторами главных осей или собственными векторами-, компо-

1) Преобразование к главным осям можно очень легко провести также непосредственно алгебраически, если искать такую ортогональную матрицу L, чтобы

L1KL = D была диагональной матрицей с диагональными элементами v.,,.. ./г.....к„.

Из условия KL=-LD получаем для коэфициентов преобразования Iqi уравнения:

? kpqtqi — Ipit-I•

я

зи которых прежде всего числа хг определяются как корни уравнения (30), которое будет позже выведено; далее, на основании простых алгебраических соображений получается ортогональная система ri2 величин Iqi. Приведенный в тексте метод доказательства имеет по сравненяю с алгебраическим то важное для дальнейшего преимущество, что он применим к обширному классу трансцендентных проблем. IO
Предыдущая << 1 .. 7 8 9 10 11 12 < 13 > 14 15 16 17 18 19 .. 202 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed