Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
Алгебра линейных преобразований
Гл. I
ненты Iqv этих векторов, в силу того, что они удовлетворяют соотношениям (21), определяют ортогональное преобразование:
п
xP = Y1VP У я (P= •••.»). <28)
? = 1
которое, как мы утверждаем, дает ^решение нашей задачи. Решая систему уравнений (28), получаем:
п
Ур=Ш1РЯХа (P=I....."), (29)
?=1
следовательно, равенство S==Tp означает, что у =1, a v? = 0 при q =Z^P- В частности, следовательно, максимум X1 достигается при значениях уг=1, J2 = O, ..., уп = 0, поэтому в преобразованной форме:
п
с (у, У)= Y сраУрУя<
P. Q = 1
первый коэфициент C11 равен X1. В таком случае форма п
у)= Yhp*ypy4=c(y> JO-Mtf +•••+->?).
р. ?=1
не может иметь положительных значений. В самом деле, это утверждение несомненно справедливо при условий:
O = 1 P = I
в силу foro, что X1 является при этом наибольшим значением формы С (у, у), следовательно, оно во всяком случае справедливо, если заменить yt через — ; но умножая на 2 У2В получаем, что вообще
VH4
H(у, j)<:0. Если бы переменное J1 входило еще в выражение//(J,J), например, если бы коэфициент h12 = hai был отличен от нуля, то форма И (у, у) при
J'i = 1. У» = Ъ Уз= ••• =J^=0 принимала бы значение:
2Л12 є + A22-S2 = є (2H12 + H22 є),
которое при соответствующем выборе є могло бы быть положительным.
Тем самым доказано, что К(х, лт) принимает после преобразования вид:
с (у, JO=X1J? + C1 (у, J), § 3
Преобразование к главным осям квадратичных и эрмитовых форм 23
где C1 (у, у) означает квадратичную форму от п — 1 переменных у2,... , уп. При добавочном условии J1 == 0 преобразованная форма, следовательно, равна C1 (у, j), и мы можем теперь совершенно таким же образом, как и раньше, заключить, что C1 (у, у) имеет вид х2-V^+ C2(у, у), причем C2(у, У) зависит только от п — 2 переменных
Уз> • • • • Уп и т- д-
Тем саМым полностью доказана возможность преобразования к главным осям:
п п п п
2 hP4xpxq=2 *рУ1 - Z 4=Z У1 •
р, ?=1 P=1 P=1 P=I
Впрочем, для доказательства можно было бы с таким же успехом исходить из соответствующей задачи о минимуме, т. е. можно было бы искать наименьшее значение К (к, х) при условии Е(х, jc) = 1, и тогда получились бы числа к,, ... , Xn в обратном порядке. Можно было бы также фиксировать значение К(х, х) и разыскать наибольшие или наименьшие значения Е(х, х). При этом получились бы значения It, обратные Xj.
2. Характеристические числа и собственные значения. Теперь мы покажем, что числа х,, определенные в п. 1 как последовательные наибольшие значения, тождественны с характеристическими числами, введенными на стр. 18.
Составим уравнение:
(P(X) = (X-X1)(X-X2) .. ,(X-Xj = O, которое можно записать в виде;
X1 о . .. 0
0 X-X2 , .. о
0 0 . .. х-х„
Но этот определитель является определителем квадратичной формы;
п Л
«2 у2р—ИьУр'
P=1 P=I
получающейся путем ортогонального преобразования из квадратичной формы:
п
X2 X2p-К(х, х).
P=1
Поэтому имеет место тождественное относительно X соотношение:
X — X1 0 . .. 0 X kn ^12 •• ^l п
0 X ' Xg • .. 0 = — Zfe21 X- - k22 _Ь к2п »
0 Q - - ~ btft .. X knn IO Алгебра линейных преобразований Гл. I
следовательно, числа X1, ... , у.п являются корнями алгебраического уравнения:
kn X k . . . «1я
A22 — X Ь --- 2п =0, (30)
Ki ^nl • • • Kn X
относительно неизвестной X, т. е. характеристическими числами.
Наше доказательство вместе с тем обнаруживает, что уравнение (30) всегда имеет только действительные корни, если kpq—произвольные действительные числа, удовлетворяющие условию kqp^kpq1)' Заметим, еще, что абсолютные величины собственных значений, т. е. чисел, обратных характеристическим числам, геометрически означают квадраты длин главных полуосей центральной поверхности второго порядка К{х, х)=\. Если по крайней мере одно из характеристических чисел равно нулю, "йо форма называется „выродившейся"; она может быть представлена как форма от меньшего чем п числа переменных. Вследствие инвариантносхи определителя (см. стр. 13) это имеет место в том и только в том случае, когда K=I kpq I = X1X2 ... х„ обращается в нуль. Для того чтобы К(х, л:) было определенной положительной формой, необходимей достаточно, чтобы Xp>0, р=1»..., п.
Если форма К(х, х) преобразована к главным осям:
п
К(х, X) = Y Xp Ур,
P=і
то для квадратичной формы, стоящей в правой части, можно непосредственно образовать итерированные формы, а принимая во внимание сказанное ранее относительно ортогонального преобразования, получаем:
п Tl
Ю(Х, х) = ]Гх2ру2р, КЦх, x) = Y 4у2р>---
р=і р=і
Отсюда мы видим, что h-я итерированная форма Kh (х, х) имеет в качестве характеристических чисел h-e степени характеристических чисел формы К (лг, х), а собственные значения Kh (х, х) являются /г-ми степенями собственных значений К{х, х), что, впрочем, непосредственно следует из теоремы на стр. 19. Далее ясно, что при четном h форма Kh (х, л:) является определенной положительной формой.
