Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
X
g (х) = h (х) (1 — cos AT) = 2h (X) sin2 — .
Ряд Фурье
OO
JpvSinvx
V=I
для этой функции согласно предыдущим рассуждениям сходится равномерно к
со
S-W==X1Mnv*-
V = I
При этом коэфиинеНты (Sv связаны с коэфициентами Av соотношениями:
Pi =
Полагая
я
X К sinvxj=5„ (X)
V=I
и
п
XPv Sin VX = Cm(X),
V = I
имеем:
Ь b
(1 —.cos х) Sn (х) = Ort (jc)--2 sin (п + 1)х 4" "2*" sin пх'
С возрастанием п коэфициенты Ьп стремятся к нулю, а сумма оп(к) стремится равномерно к g(x). Следовательно, и (1—cosх) Sn (х) равномерно сходится в интервале — тг^х^п к g(x), а потому и сумма sn(x) равномерно сходится к h (х) во всяком замкнутом частичном интервале, не содержащем точки х=0.
В точке х = 0 все частичные суммы Sn(X) равны нулю, так что и Iim Sn (х) = 0. Следовательно, и в точке разрыва сумма ряда равна зна-л-юо
5 Куравт-Гильберт. 66 Задача о разложении в ряд произвольный; функций Гл. II
чению функции h(x), а именно среднему арифметическому предельных значений слева и справа — ~ и .
Подобно тому, как фуикция h(x) делает скачок, равный тг при Jf==O, так и функция h (х—?) делает такой же скачок при *=={;, во всех же остальных точках основного интервала она. непрерывна. Пусть теперь /(х) — кусочно-непрерывная функция, которая в точках х = = ^(/=1, ... , г) интервала 0.s?;x<2tr делает скачки, равные s(Zi) =» —/(¦*/ 4" 0) — / (*/.-^ 0), а в остальных точках непрерывна, тогда функция
г
/ч*) =ZW-^iiM h (*-&,)
IT
/=1
повсюду непрерывна и имеет, очевидно, одновременно с f(x) кусочно* непрерывную первую производную. Следовательно, функция F(x) разі лагается в равномерно и абсолютно сходящийся ряд Фурье; так как и функция
Si^f-W
может бь*гь разложена в ряд Фурье, равномерно сходящийся во вся» ком замкнуто^* интервале, не содержащем точек разрыва, то теорема, формулированная в начале параграфа, полиостью доказана.
2. Кратные ряды Фурье. It для многомерных прямоугольных областей можно образовать ортогональные системы при помощи тригонометрических функций. Ограничимся для определенности случаем двух переменных; заметим, однако, что все это остается справедливым и для любого числа переменных,
В области квадрата 0 < s ^ 2п, 0 =? Z =? 2ст функции:
cosjtscosvf (j*=0, l,...;v=0, 1,...), sin jxs cos vi (ц=1, 2,... ; v==0, 1,...), cosjissinvZ (ji=0, 1, ... ; v = l, 2,...), sinjissinvZ (ja= 1, 2,...-; v=l, 2,...)
образуют ортогональную систему. Формулы разложения записываются проще всего, если пользоваться записью в комплексной форме. Если функция f(s, t) разлагается в равномерно сходящийся двойной ряд Фурье, то
OO OO
V-=-со v=-co 2я 2я
о О Ряды Фурье
67
Полнота этой CfcerflfMbI функций, а вместе с тем условие полноты
со 2112*
S Kvl2= f fim i)\*dsdt ^v=-OO JJ
полунается на основании нашей общей теоремы относительно образования полных систем функций от нескольких переменных из полных систем от одной переменной (см. стр. 49 п. 6).
Далее таким же путем, как в п. 1, выводится абсолютная и равномерная сходимость ряда Фурье отіфункции F(s, t), если ^ ^ суще-
ш at
ствует и кусочно-Непрерывна.
ч3. Порядок коэфиц.иентов Фурье.ч Если периодическая функция /(Jf) и ее производные до (А— 1)-го пбрядка непрерывны, а А-я производная кусочно-непрерывна, то для коэфициентбв разложения /(je) в ряд Фурье
со
X a^x
V=-CO
справедливы пои v^a 1 соотношения:
Vft '
где с — некоторое постоянное число. Мы видим, таким образом, что коэфициенты ряда тем сильнее стремятся к нулю, чем 'регулярнее функция.
Указанный результат непосредственно получается, если выражение (15') для коэфициентов разложения интегрировать по частям последовательно А раз.
4. Растяжение основной области. Если периодическая функция f(x) имеет период 2/, то разложение имеет вид:
со
= ^ + COSVy x + A,sinvy*) ,
21
"-ssssT-Jj
где
і f(t) cos dt,
о 21
/(<)sinv ~tdf. 81
Задача о разложении в ряд произвольный; функций
Гл. II
Это разложение можно также записать в следующей форме:
+СО я
/w=x «.« т*.
v=- oo 21
а' 21 J
f{t)e Л ' * dt.
5. Примеры. Простые примеры к теории рядов Фурье юожно найти в элементарных 'учебниках 1J. Здесь же мы применим разложение в ряд Фурье для вывода функционального уравнения тетафункции и для вывода общей формулы Пуассона.
Функциональное уравнение для тетафункции
со
o(x)= X е-^'х
Ii=-CO
имеет вид:
Для доказательства полагаем
оо
у (у)= X
H=-GO
очевидно, <р(і>) является периодической функцией от у с периодом 1, которая имеет производные любого порядка по у и разлагается поэтому в ряд Фурье:
оо
У (У)= X а*е™У>
V=-CO
где
і і ^
Ov= \ <f(/!)e-2!t"'A=\ X e-^+V*-**1-« dt.
J »=—cto о о ^
Ввиду того, что при любом X > О мы имеем право изменить порядок интегрирования и суммирования, получаем:
OO !, OO *+»
г.
UJ п CjO р
= X \ e-n<it+'>,*-2't''v<itjTddt- X I г А-2»'Й =
^=-CoJ H=-CO J
OO OO «CV»
= j" е-*1**-2™'dt = е~ е~™ ('+J) d
