Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
а лт
л; = --, воспользуемся следующим видом выражения для К:
K=I E Д*ЛГ(Л).
Так как при х= конечные суммы E akn"(k) исчезают,
?= "t" 1, ±3..... ±г(2/+1>
потому что отдельные члены суммы попарно уничтожаются, получается K = O. Точно так же доказывается, что требование 2 выполняется на других плоскостях решетки.—Уже Риман представил сумму (106) в виде интеграла известных тета-произведений. Это выражение Римана для суммы (106) можно вывести следующим образом. Исходим из равенства:
2 ? „ .. 1
V^e~sPdt==VT {s>0)
и подставляем в него вместо s выражение N(k, m, и; x,y,z", ?, r(, Q. Мы получаем тогда:
со
K--^7=X E E М*А [e-^dt.
2тгУ TC k m п J
О
Если бы можно было в этом выражении поменять местами суммирование и интегрирование, то получилось бы:
OO со
E E MeV-^=-J7= (109)
2irK1O * и „ 2тг|/ тт. J
где три множителя под знаком интеграла обозначают следующие выражения:
со
Z1= X (—1)* <•№» + (-Dfc?-*!*,
* = -OO OO
Z2= V 1 у* е- *>[««]+ (- 1Г T1-^P1
m = - OO
CO
Z3= E (— 1)" 6-H- 1 JnC-^j n = —СО
которые могут быть выражены через тета-функцию:
оо
900(^,т) = S0(Z,T)= X
V = — OO360
Проблемы колебаний
Гл. V
Прежде всего надо доказать формулу (109), причем главное затруднение доставляет точка t= 0, так как наши три ряда вблизи значения t=0 не сходятся равномерно. Начнем с доказательства того, что суммирование по k и интегрирование можно поменять местами:
СО OO 00
її- і u^ г
= ДЛДЛ=-—P= ?. (— 1 )М ДД [ка + 1)ft 5 - x*dt. (110) 2тг|/ и J 2nK "ft = _ со J
о о
Что можно поменять местами суммирование и интегрирование в интервале от 1 до со, нетрудно усмотреть. Действительно, для остатка суммы Д при />>/'(?,-*;)>2 справедлива оценка:
? е-Pika+{-1)4-X? ^e--T" 2
|*1>Р |*|>Р
^ a2 JL ft2 <а2 Г р— 1 < pa? е 1*1 >р
а интеграл этого выражения от 1 до со сходится к нулю с возрастанием р до оо. С другой стороны, на отрезке от 1 до со Д и Д, очевидно, остаются равномерно ограниченными.
Для доказательства нашего права поменять местами суммирование и интегрирование в интервале от 0 до 1 достаточно будет на основании известного предложения показать ограниченность частных сумм подь-
CO - со
интегрального выражения. Но каждая из двух сумм ^ и ^ , на ко_
A=O k= і
торые разлагается Д, является знакочередующимся рядом, члены которого, начиная с определенного k, монотонно убывают, причем это значение k зависит лишь от S и х, но не от t. Поэтому значение каждой частной суммы обоих рядов при всяком <^>0 заключено между определенными границами. С другой стороны, то же справедливо и для частных сумм выражений /2 и Д, так что Д и Д тоже равномерно ограничены при t 0. Стало быть, можно применить упомянутую теорему, и равенство (110) доказано. Совершенно аналогичным рассуждением доказывается также правомерность перемены порядка интеграции и суммирования по т и п кв правой части (109), и это соотношение, стало быть, полностью ^доказано.
Выразим теперь К через функцию o00. Имеем:§ 15 Примеры функций Грина 361
Применяем к каждому множителю формулу преобразования для тета-фуикции:
у — п Ч т/
с главным значением для корня. Если положить еще
tta tla
то получим:
,_]МЧ ( X— 6 та \ А / AT-I-S-а
cIat [ 00 \ 2а ' 4aW 00V- 2а ' 4aWJ ~
ЛГ~ Г +CO k(x-i)m +СО +
S - S -
zar Lft=-CO ft= -*со J
Vr itV1 м^ ^ffi (¦* — 6) ftrt(JC-4-S — a)
= -- >Q\ COS --5---COS---—---S=
at fe4* \ a a
2 „ . (knx feii\ /^ttS Airx
sin\~a 2 ) sm (т—Sj ¦ <ni)
Аналогичные выражения получаются для /?, /8, и мы имеем для К: лг 4 Г 1 ^ S S . / Atta; att\ . /ftiti;
""г)-
(. и» /ft« , m« , ns\ иттС mt\ - 4ft ^ + ftT +
—---2 I e
Введя новую переменную интеграции —=т, получим:
K=-Ts І ...
aOC J A=Ifft = In=I 4 a Z '
(mrC «тт\ , ___-Jrfx.362
Проблемы колебаний
Гл. V
Эта формула заменяет формулу разложения функции Грнна по собственным функциям:
К(х,у, г; S, ij, С) =
OO OO OO sm
(knx kn\ . Ik kn\ / дат С лтг\ ain I —--— ) sin---— I ... sin 4---— I
о tirivi \а 2 L \а 2> Vе 2 /
аЪсп2 2j 2j 2j k? , tri*
ft=l m = l n=l
fl2 + #3 + C2
которую можно формально получить, переменив порядок суммирования и интеграции, но сходимость которой еще не доказана.
Простейшее выражение для К получается из (109) подстанов-1
кой T = -„- : Iі
со
5)]
6. Функция Грина уравнения Au=O для внутренней области прямоугольника. Пусть стороны прямоугольника R параллельны осям, пусть одна вершина его в начале, а остальные в точках (а, 0), (0, b), (a, b). Пусть источник находится в точке (?, 7j), а точка наблюдения (х, у). Если К(зс, у; Jj) есть функция Грина, принадлежащая краевому условию к = 0, то К, как функция от х и у, должна, внутри R удовлетворять уравнению Au = O, исчезать на контуре
и лишь в точке ($, rfi обладать особенностью типа — ~ log г, где
г — ]/~(х — S)2+ (.У — rfi2- Естественно теперь, аналогично случаю прямоугольного параллелепипеда, построить решетку, соответствующую прямоугольнику R, многократно отразить точку (S, Jj) в прямых решетки и каждую из полученных таким образом точек рассматривать как источник или сток поля мощности 1, смотря по тому, получилась ли она из точки ($, ij) путем четного или нечетного числа отражений в прямых решетки.