Математические основы теории симетрии - Голод П.И.
Скачать (прямая ссылка):
степень. Действуя т раз на <р оператором Н+ = по-
az
лучим отличную от нуля постоянную с, принадлежащую 2)/. § 5. Представления группы SU(2) 277
Теперь действуя на с операторами H-, H2,,... ,Я?', приходим к выводу, что подпространству 5 принадлежат одночлены l,z, Z2,... ,Z21. Следовательно, Sr = S1 и представления Tj неприводимы.
Если I ф V, то dimT/ ф dim Ti-. Представления, имеющие различные размерности, не могут быть эквивалентными.
1 ч
Поэтому представления Ti, I = 0, ^, 1, ..., попарно неэквивалентны.
Покажем, что набор неприводимых представлений Ti, I = 0, і 1, ..группы SU(2) полный, то есть что всякое не-
і Л
приводимое конечномерное представление SU(2) эквивалентно одному из представлений Ti. Неприводимое конечномерное представление группы SU(2) однозначно определяет неприводимое конечномерное представление алгебры Ли su(2) и наоборот. Поэтому достаточно показать, что всякий набор операторов Н+,Н-,Нз, удовлетворяющий соотношениям (5.15) и не имеющий инвариантных подпространств, эквивалентен набору операторов (5.16)-(5.18).
Пусть Н+, H-, H3 — набор операторов в линейном пространстве Sj, удовлетворяющих соотношениям (5.15), и пусть в Sj отсутствуют собственные инвариантные подпространства. Тогда в Sj существует собственный вектор а оператора H3: Н3а. = ka. Из соотношений
[Н3,Н+] = Н+, [H3, H-] =-H-
вытекает, что
Я3(Я+а) = Я+Я3а + Я+а = (k + 1)(Я+а), Н3(Н-я) = H-H3Sl - Я_а = (к - 1)(Я_а).
Следовательно, векторы Я+ а и Я_а тоже собственные и отвечают собственным значениям к +1 Hfc-I соответственно.
Действуем на вектор а операторами Н+,Н\,Н\,... Полученные ненулевые векторы соответствуют собственным значениям к +1, к + 2,... и потому линейно независимы. Это значит, что на некотором шаге получим нулевой вектор. Следовательно, в Sj существует ненулевой вектор Ь, для которого H3b = 1Ъ и Я+b = 0, где I — число. Действуем на вектор b 278 Глава 2,
операторами ff*, к = 1,2,..., до тех пор, пока не получим нулевой вектор. В результате получаем некоторое число (скажем, т + 1) линейно независимых векторов
b = Ъо, bj = H- Ь, Ъг = Hl b,... , Ьт = Н™Ъ, (5.20)
таких что Н3ЪЙ = (I — s)bs. Покажем, что
H+bj = [21 j - j(j - l)]bj—і. (5.21)
При j = 0 эта формула верна. Предположим, что она верна при j = і — 1и покажем, что она справедлива при j ~ L Имеем
tf+bi = Н+Н-Ьі-г = Н-Н+Ьі4- 2Я3Ь,-_1 = = [2/(г - 1) — (г — 1)(г - 2)]Ь€_Ж + 2(1-г + 1)Ь4_! = = [2/г — г(г — l)]bj_i,
то есть формула (5.21) справедлива.
Следовательно, в Sj существуют линейно независимые векторы bo,bi,... ,bm, на которые операторы действуют по формулам
Hsbj = (I - j)b,, H-hj = bj+i, (5.22)
H+bj = [2Ij - j(j - l)]bi-i. (5.23)
Поэтому подпространство натянутое на эти векторы, инвариантно относительно операторов Н+, H-, H3. Следовательно, Sj' = Sj.
Вследствие последней из формул (5.15) Н+Н- - H-H+ = = 2H3. Поэтому для следов операторов получаем
TrН+Н- - TrH-H+ = 2 TrH3.
Поскольку Tr Н+Н- = TrH-H+, то Trtf3 = O. Отсюда и из (5.22) вытекает, что
т
TrH3 = - 3) = Km + 1) - f (т +1) = 0. j=o §5. Представления группы SU(2) 279
Поэтому тп = 21. Таким образом, число векторов в (5.20) равно 21 + 1, а I — целое или полуцелое число.
Обозначим векторы bj в (5.22) и (5.23) через yj-j, а потом перейдем от уп к векторам
п—1 -у
lPn= ?[(<-*•)(/-и+ 1)Ру„.
В результате формулы (5.22) и (5.23) перейдут в формулы (5.16)-(5.18). Следовательно, полнота набора неприводи-
1 ч
мых представлений Tj, / — 0, 1, ..., доказана.
5.5. Матричные элементы представлений. Для
вычисления матричных элементов
tlmn(g) = (<Pm,Tl(g)<pn) операторов Tj(g), g Є SU(2), в базисе (5.13) запишем их в виде
( ) = (—l)2,~m~n{zl~m,Ti(g)zl~n) y/(l-m)l(l-n)l(l + m)\(l + n)l
и учтем формулы
Tj(g)z'-" = (az + 7y-n(?z + 6),+п, g={^ fj, [6pt]{zl-\zl-r) = (1- k)l (I + к)! Skr. В результате получим
, al-m7m-nSl+n
tmn(g) — ^j^J-m-n *
x A y/(l - m)(I - n)! (I + m)\ (Z~+rt)! //^Ai * ^t ? (l-m- j)! (l + n- j)\(m-n + j)! (aSj '
где M = max (0, n — m) n N = min (I — m,l + n).
24) 280 Глава 2,
Матрицы g Є SU(2) представляются через углы Эйлера^, в, ф в виде
Є= Ы<Р)ё1
где ?з(у>) и gi (б) — матрицы из п. 5.2. Операторы Ti(g3(<p)) диагональны в базисе <рп, п = — I, —1 + 1,... ,1 (см. формулу (5.19)). Поэтому
t'mn(g) = tlmm(g3(<p))tlmn(gl(?))tlnn(g3m =
= е-^тМк1тп(Єі(в)), (5.25)
где согласно формуле (5.24)
Cnigim = (-i)2,(-i)-m-n
jl — m)! jl — n)! I „^„m+n в il + m)! (/ + n)! j
ctgm+n ? X
E ^S-Zu-nvHY- (5'26)
j=max(m,n) v J' v ' w ' 4 '
С помощью формулы
Г(7) ^Tia + k)Ti? + k)zk
2Fi (a,?; r,z) =
Г(а)Г08)^ Г(7 4- к) kl
матричные элементы (5.24) и (5.26) можно выразить через гипергеометрическую функцию. При m ^ п имеем
і
/ , ,«ч І-І)2'-™-" Г(і-п)!(І4-т)!І2 ( о\ =HbnjT _„,;,] (« -1) -
X ^cos 2-Fi (l + m + 1, -J + m; m - ті + 1; sin2 .
(5.27)
При тп < n в правой части этой формулы тип следует заменить соответственно на — т и —п. § 5. Представления группы SU(2) 281
