Стохастические методы в естественных науках - Гардинер К.В.
Скачать (прямая ссылка):
еЛ(у, - и)р„(у, и) = —А(у, и)р,(у, и) +
(5.3.101)
или, более развернуто,
--- и --- и 0 _
и'{у) - у и Рs = U'(У) + У и Ps +
(5.3.102)
Первая строка является тождеством; вторая же утверждает, что
(5.3.103)
/ \ др*
-ups(y, и) = Ти,
т. е.
рАу, и) = ехр {—\иг)/(у).
(5.3.104)
Это означает, что еслирД.у, и) записывается в виде (5.3.104), то условия детального баланса удовлетворены. Остается проверить подстановкой, является ли (5.3.104) стационарным решением уравнения Крамерса. Последняя скобка в правой части обращается в нуль, и мы имеем
3/
О
¦uty~ 17 W.
Это означает, что
/(>') = J\Tехр [—?/(>>)] и
РАу, и) = jrехр [~U{y) - ?w2]. В исходных переменных (х, v)
„ с \ Г v(x) mvl
г,и,1-) = ЖыРГТГ __
(5.3.105)
(5.3.106)
(5.3.107)
(5.3.108)
и мы получаем хорошо известное в статистической физике распределение Больцмана. Заметим, что кТ в знаменателе появилось благодаря тому, что в качестве коэффициента флуктуирующей силы в (5.3.88)
206 Г лава 5
был выбран множитель V2/3кТ. Таким образом, мы добавили к макроскопическим уравнениям флуктуационный член, амплитуда которого определяется таким образом, чтобы в качестве решения получалось распределение Больцмана, соответствующее температуре Т.
Мы, однако же, пришли к совершенно правильному виду функции распределения. Значит, наше предположение, что броуновское движение описывается марковским процессом вида (5.3.87, 88), оказалось вполне обоснованным.
6) Детерминированное движение
В этом случае как Вj(x), так и х') равны нулю, так что условие детального баланса дается просто выражением
EtAt(ex) = —Ai(x). (5.3.109)
Поскольку мы имеем дело теперь с уравнением Лиувилля (разд. 3.5.3), движение точки с координатой х описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
^ x(t) = A{x(t)]. (5.3.110)
Пусть решением (5.3.110), проходящим через точку у в момент t = 0,
является
9[t,y], (5.3.111)
которое должно тогда удовлетворять условию
9[0, j>] = ¦ (5.3.112)
В силу (5.3.109), функция
eq(~r, sy) (5.3.113)
также является решением (5.3.110), а коль скоро
??(0, еу) = ееу = J' (5.3.114)
(т. е. начальные условия одинаковы), эти решения должны быть иден-
тичны:
eq(—t,ey) = q(t,y). (5.3.115)
Совместная вероятность в стационарном состоянии может быть запи-
сана в виде
Р„(х, г, х', t') = \dy р?х, t; х', у, 0)
= | dy 5[х — q(t, j^)]8[*' — q(t’, y)]ps(y) > (5.3.116)
Уравнение Фоккера — Планка 207
И
р&х', - t'\ ex, — t) = J 6[ел: - ?(-/, j»)]5[ex' - q(-t',y)]ps(y) ¦ (5.3.117)
Перейдем от переменной у к sy и заметим, что р%(у) = р^{?У)> dey = dy, так что
(5.3.117) = J dy 5[х - sq(-t, ejOM*' - , zy)\pt{y) (5.3.118)
и, с учетом (5.3.115),
= J dy 8[* - q(t, у)Щх' - q{f, у)]р.(у) (5.3.119)
= Ps(x, t: х', t'). (5.3.120)
В силу стационарности, р% зависит только от разности времен, поэтому условие детального баланса удовлетворено.
Надо сказать, что в этом доказательстве нет особой необходимости, так как проведенное ранее обшее доказательство сохраняет силу и для детерминистической системы. Кроме того, всякую систему детерминистических дифференциальных уравнений первого порядка можно преобразовать в уравнение Лиувилля, так что это доказательство включено сюда только для полноты.
Важно, однако, обрисовать идею, стоящую за этим доказательством справедливости детального баланса. В физических системах, для которых, собственно, и важен детальный баланс, мы нередко сталкиваемся с немыслимо большим числом переменных, скажем Ю20. Эти переменные (например, импульсы и координаты частиц в газе) как раз и входят в функцию распределения, которая подчиняется уравнению Лиувилля, так как они описываются детерминистическими уравнениями движения — например, законами Ньютона.
Можно непосредственно показать, что законы Ньютона для соответствующих взаимодействий согласуются с ‘принципом микроскопической обратимости. Другими словами, они могут быть представлены в виде (5.3.110), где А(х) удовлетворяет условию обратимости (5.3.109).
Наблюдаемые макроскопические величины в подобной системе (например, давление, температура, плотность частиц) являются функциями этих переменных и при соответствующем выборе переменных могут быть представлены первыми несколькими компонентами вектора х.