Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гардинер К.В. -> "Стохастические методы в естественных науках" -> 76

Стохастические методы в естественных науках - Гардинер К.В.

Гардинер К.В. Стохастические методы в естественных науках — М.: Мир, 1986. — 538 c.
Скачать (прямая ссылка): stahonicheskiemetodivestestvennaukah1986.pdf
Предыдущая << 1 .. 70 71 72 73 74 75 < 76 > 77 78 79 80 81 82 .. 185 >> Следующая


еЛ(у, - и)р„(у, и) = —А(у, и)р,(у, и) +

(5.3.101)

или, более развернуто,

--- и --- и 0 _
и'{у) - у и Рs = U'(У) + У и Ps +
(5.3.102)

Первая строка является тождеством; вторая же утверждает, что

(5.3.103)

/ \ др*

-ups(y, и) = Ти,

т. е.

рАу, и) = ехр {—\иг)/(у).

(5.3.104)

Это означает, что еслирД.у, и) записывается в виде (5.3.104), то условия детального баланса удовлетворены. Остается проверить подстановкой, является ли (5.3.104) стационарным решением уравнения Крамерса. Последняя скобка в правой части обращается в нуль, и мы имеем

3/

О

¦uty~ 17 W.

Это означает, что

/(>') = J\Tехр [—?/(>>)] и

РАу, и) = jrехр [~U{y) - ?w2]. В исходных переменных (х, v)

„ с \ Г v(x) mvl

г,и,1-) = ЖыРГТГ __

(5.3.105)

(5.3.106)

(5.3.107)

(5.3.108)

и мы получаем хорошо известное в статистической физике распределение Больцмана. Заметим, что кТ в знаменателе появилось благодаря тому, что в качестве коэффициента флуктуирующей силы в (5.3.88)
206 Г лава 5

был выбран множитель V2/3кТ. Таким образом, мы добавили к макроскопическим уравнениям флуктуационный член, амплитуда которого определяется таким образом, чтобы в качестве решения получалось распределение Больцмана, соответствующее температуре Т.

Мы, однако же, пришли к совершенно правильному виду функции распределения. Значит, наше предположение, что броуновское движение описывается марковским процессом вида (5.3.87, 88), оказалось вполне обоснованным.

6) Детерминированное движение

В этом случае как Вj(x), так и х') равны нулю, так что условие детального баланса дается просто выражением

EtAt(ex) = —Ai(x). (5.3.109)

Поскольку мы имеем дело теперь с уравнением Лиувилля (разд. 3.5.3), движение точки с координатой х описывается обыкновенным дифференциальным уравнением

^ x(t) = A{x(t)]. (5.3.110)

Пусть решением (5.3.110), проходящим через точку у в момент t = 0,

является

9[t,y], (5.3.111)

которое должно тогда удовлетворять условию

9[0, j>] = ¦ (5.3.112)

В силу (5.3.109), функция

eq(~r, sy) (5.3.113)

также является решением (5.3.110), а коль скоро

??(0, еу) = ееу = J' (5.3.114)

(т. е. начальные условия одинаковы), эти решения должны быть иден-

тичны:

eq(—t,ey) = q(t,y). (5.3.115)

Совместная вероятность в стационарном состоянии может быть запи-

сана в виде

Р„(х, г, х', t') = \dy р?х, t; х', у, 0)

= | dy 5[х — q(t, j^)]8[*' — q(t’, y)]ps(y) > (5.3.116)
Уравнение Фоккера — Планка 207

И

р&х', - t'\ ex, — t) = J 6[ел: - ?(-/, j»)]5[ex' - q(-t',y)]ps(y) ¦ (5.3.117)

Перейдем от переменной у к sy и заметим, что р%(у) = р^{?У)> dey = dy, так что

(5.3.117) = J dy 5[х - sq(-t, ejOM*' - , zy)\pt{y) (5.3.118)

и, с учетом (5.3.115),

= J dy 8[* - q(t, у)Щх' - q{f, у)]р.(у) (5.3.119)

= Ps(x, t: х', t'). (5.3.120)

В силу стационарности, р% зависит только от разности времен, поэтому условие детального баланса удовлетворено.

Надо сказать, что в этом доказательстве нет особой необходимости, так как проведенное ранее обшее доказательство сохраняет силу и для детерминистической системы. Кроме того, всякую систему детерминистических дифференциальных уравнений первого порядка можно преобразовать в уравнение Лиувилля, так что это доказательство включено сюда только для полноты.

Важно, однако, обрисовать идею, стоящую за этим доказательством справедливости детального баланса. В физических системах, для которых, собственно, и важен детальный баланс, мы нередко сталкиваемся с немыслимо большим числом переменных, скажем Ю20. Эти переменные (например, импульсы и координаты частиц в газе) как раз и входят в функцию распределения, которая подчиняется уравнению Лиувилля, так как они описываются детерминистическими уравнениями движения — например, законами Ньютона.

Можно непосредственно показать, что законы Ньютона для соответствующих взаимодействий согласуются с ‘принципом микроскопической обратимости. Другими словами, они могут быть представлены в виде (5.3.110), где А(х) удовлетворяет условию обратимости (5.3.109).

Наблюдаемые макроскопические величины в подобной системе (например, давление, температура, плотность частиц) являются функциями этих переменных и при соответствующем выборе переменных могут быть представлены первыми несколькими компонентами вектора х.
Предыдущая << 1 .. 70 71 72 73 74 75 < 76 > 77 78 79 80 81 82 .. 185 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed