Принципы теории струн - Бринк Л.
Скачать (прямая ссылка):
Для физических состояний выражение (IX) должно быть модифицировано путем введения калибровочного условия (желательно лоренц-инвариантным способом). Но этого совершенно недостаточно для того, чтобы сделать функционал if [X4 (ст) ] == = ехр /5 [ХА (ст) ] нормируемым, как можно видеть из закона
преобразования г|)*лв [ХА (ст)] = ехр у г jj kABXA (ст) Х'в (ст) da при
действии группы Пуанкаре. Покажите, что
\Ф, х) = J ®ХЛ (ст) if* (ст)] х [Хл (ст)]
(IX)
в терминах фурье-ком-
U(a,A)% [*л(а)] = 1у [**(*)],
ВАВ АВ
где
1) Это решение сообщил автору Л. Мезенческу.
Квантование струны Намбу — Гото
161
Следовательно, величины принадлежат конечномерному
представлению группы Лоренца. Может ли tykAB иметь конечную норму (известно, что оператор U унитарен, если скалярное произведение лоренц-инвариантно, и скалярное произведение положительно определено)?
д. Вычислите Ра и (МАв>-
е. Приведенное выше решение не может быть непосредственно обобщено на случай открытой струны. Докажите, что 5 =
1 г я
= 2 j kABXA (о) Х'в (о) do = 0 для открытой струны (и, следо-
— JT
вательно, не удовлетворяет уравнению Гамильтона — Якоби). Покажите, что из-за наличия ненулевых поверхностных чле-1 Гл
нов S = —\ kABXA (а) Х'в (о) do пе обладает хорошо определенной функциональной производной.
15.1.5. Алгебра Вирасоро и алгебры, Каца — Муди Алгебра Вирасоро
\Lm, Lft] (tn tl)l-m+n~\ J2* (^ 6m,—n> (13.1.5.1)
которая, как мы видели, непосредственно связана с конформной симметрией, в последнее время нашла много приложений не только в теории струн, но также в статистической механике [21]. Поэтому исследование ее представлений вызвало значительный интерес [22].
Существуют и другие бесконечномерные алгебры, имеющие физические приложения. Среди них алгебры Каца — Муди [23] также играют роль в моделях струн. Они определяются следующим образом. Рассмотрим конечномерную алгебру Ли G со структурными константами Саьс и (матричными) генераторами Та. Генераторы Мат ассоциированной аффинной алгебры Каца — Муди удовлетворяют коммутационным соотношениям
[Мат, M/,n] = С аьМст+п -(- с/пдт> —ngab, (13.1.5.2)
где gab — тензорный инвариант присоединенного представления, т и п — положительные и отрицательные целые числа.
Алгебры Каца — Муди с нулевым центральным зарядом с = 0 легко построить следующим образом. Рассмотрим матрицы Мат = Таешв. Они удовлетворяют соотношениям
[^am! Mf,n] = С фМст+п, (13.1.5.3)
определяющим алгебру, которая называется алгеброй петель, поскольку последняя ассоциируется с отображениями окружности
162
Глава 13
в алгебру Ли G: когда 0 пробегает значения от 0 до 2л, Мат описывает петлю в G.
Мы уже сталкивались с алгеброй Каца — Муди, когда рассматривали трансляционные токи j“. Действительно, изотроп-
где знаки ± относятся не к координатам светового конуса фонового пространства-времени, а к изотропным направлениям вдоль струны.
Непосредственное вычисление дает
Величины а — фурье-компоненты токов-—образуют (при коммутировании) замкнутую алгебру Каца — Муди с нетривиальным центральным зарядом, основанную на группе трансляций.
Величины алп можно связать с осцилляторными переменными посредством соотношений
‘) Для упрощения последующих выкладок мы ввели в выражение {13.1.5.4) подходящие нормирующие множители.
2) Наша общая тактика на последующих страницах снова будет заклю-
чаться в рассмотрении открытой струны с последующими краткими замеча-
ниями об особенностях замкнутой струны в тех случаях, когда это необ-
ходимо.
ные компоненты jaA, определяемые как = j°a ± jla, равны *)
/л (о) = - (?А(о) ± 2^ГЛ (а)) , (13.1.5.4)
[/1 («т), /? И] = Ллв6' «О, [и (а), jg (а')] = —Ллв6' ст')’
(13.1.5.5а)
(13.1.5.56)
(13.1.5.5в)
В случае открытой струны2) определяется величина
/+ (or), 0 < а < л,
(13.1.5.6)
}А (о), — л<о<0,
и ее фурье-разложение
(13.1.5.7)
П
Из уравнений (13.1.5.5) следует
[«4m. «flJ = ГПЦавЬ.
(13.1.5.8)
алч = — л/2а' рА,
= аАп, аА_п = {аАп)* (п> 0). (13.1.5.9)
Квантование струны Намбу — Гото 163
Они отличаются от величин а ап в упражнении 2 в разд. 12.4.1 простым множителем д/2а'.
Существует тесная связь между алгеброй Вирасоро компонент энергии-импульса и алгеброй Каца — Муди (13.1.5.8) трансляционных токов. Это объясняется принадлежностью теорий к “типу Сугавары” с тензором энергии-импульса, квадратичным по токам [24].
Действительно, из уравнений (12.3.2.1) и (13.3.2.5) находим
+ Л
Ln = zt : jA(o) jA (о)'. eina do, (13.1.5.10)