Принципы теории струн - Бринк Л.
Скачать (прямая ссылка):
h“> Рь] = - С
(13.2.2.2)
168 Глава 13
БРСТ-генератор имеет вид
Q = Gar)a-j?cCcab4b4a, (13.2.2.3).
где [Ga, Gb] = CcabGc, C°ab — структурные константы, и, очевидно, удовлетворяет условию
[?2,?2] = 0. (13.2.2.4)
В уравнениях (13.2.2.2) и (13.2.2.4) символ [ , ] обозначает симметричные скобки Пуассона, соответствующие классическим фермионным переменным.
В нашем случае связями являются Ж (о) и Ж\(о). Граничные условия для введенных духовых переменных те же, что и для лагранжевых множителей, а именно
т,±(2к+1) (о) = 0 = л1 {т И, (13.2.2.5а)
&f+1) (а) = 0 = &?к) (ст), (13.2.2.56)
при ст=0, я. Здесь F{2n) — производная по ст порядка 2п. Следовательно, в ряд Фурье для величин ti1 и ЗР l войдут лишь коси-
нусы, а для г]1 и 0>\ — синусы. С учетом условий (13.2.2.5) ?2 является хорошо определенным каноническим генератором, поскольку в 6Q не возникает нежелательных граничных членов.
В терминах фурье-компонент Lm и г\т, &т связей и духов соответственно выражение (13.2.2.3) имеет вид
?2= X ^тЛ-т+ X ГП&гПпП-п-т, (13.2.2.6)
т п, т
где
К»> 9>п\ = — г'бт, -п, (13.2.2.7а)
< = Л_т, ^ = (13.2.2.76)
где у\т — т-я фурье-компонента величины г)1 + Л1 (в базисе ехр ima) и т. д. Мы ввели для удобства множитель i в &п-Легко проверить, что величина ?2 вещественна и классически нильпотентна:
?2* = ?2, (13.2.2.8а)
[?2, ?2] = 0. (13.2.2.86)
Упражнения
1. Проверьте соотношения (13.2.2.8а) и (13.2.2.86) непосредственно, используя выражение (13.2.2.6).
2. Постройте БРСТ-инвариантное расширение генераторов
Пуанкаре [31]. Несут ли духи лоренцев индекс?
Квантование струны Намбу — Гото 169
13.2.3. Фоковское пространство духов
Переходим к квантовой теории. Духи r\m и ?Рт становятся операторами и вследствие (13.2.2.7) удовлетворяют соотношениям
= (13.2.3.1)
(где символ [, ] обозначает теперь антикоммутатор в соответствии с правилом: скобки Пуассона фермиевских переменных — антикоммутатор) и
4;=^, (13.2.3.2)
Из соотношений (13.2.3.1) и (13.2.3.2) видно, что нулевые моды т)0 и 3*0 отличаются от других мод, поскольку они вещественны и удовлетворяет условию
ho, Л] = 1. (13.2.3.3)
Пространство неприводимого представления для соотношения
(13.2.3.3) хорошо известно [33]. Оно двумерно и изоморфно пространству функций от одной грассмановой переменной т]01):
f = а + 6т)°, (13.2.3.4а)
if — умножение на г)°, (13.2.3.46)
&>0 = д/дц°, (13.2.3.4в)
(f,g)=\rgdrf. (13.2.3.4г)
Состояния fi = 1 и /г = л° имеют нулевую норму и скалярное
произведение, равное +1. С другой стороны, можно рассмот-
реть состояния (1 ± rf)/V2 , которые ортогональны друг другу и имеют норму ±1.
Пространство духовых состояний является прямым произведением пространства (13.2.3.4) на фоковское пространство высших мод г\т и 9>т, построенное следующим образом. Определяются операторы
L=y=(4m+^„). i:n = -jf« + K), (13-2.3.5)
у- f 'lm ^т)
(т > 0), удовлетворяющие условию
= 1 (13-2-3-6)
(другие антикоммутаторы равны нулю).
!) Чтобы выполнялись равенства 0 = г)°г)т + 'Пт'П0 = tf&m + = • • •
... — операторы (13.2.3.46) и (13.2.3.4в) в действительно-
дг„
сти следует умножить на (—1) , где NF — число духовых фермионов, но
этот множитель здесь опускается.
170
Глава 13
Вакуум духов аннигилируется операторами уничтожения fm
и нормируется на единицу: <0|0>=1. Операторы рождения fm являются операторами обычного типа, а операторы gm рождают состояния с отрицательной нормой (предполагается существование таких состояний в пространстве духов).
Последующие вычисления будут проводиться так, чтобы быть на каждом этапе осмысленными в рамках определенного выше фоковского пространства. Это будет достигаться путем использования нормальной формы операторов. Заметим, что это равносильно записи всех операторов цт и <Р*т слева от г|т и 9>т, поскольку г\* и !?”т содержат только операторы рождения, в то время как х\т и &т выражаются только через операторы уничтожения. Для операторов же г)0 и ?Р0 будет принято антисимметричное упорядочение.
