Принципы теории струн - Бринк Л.
Скачать (прямая ссылка):
Упражнение. Что является пространством нулевых мод для замкнутой струны?
13.2.4. Нильпотентность квантового БРСТ-оператора Квантовый вариант БРСТ-генератора (13.2.2.6) имеет вид
и gm
/m|0> = ?m|0> = 0
(13.2.3.7)
-f оо
tl~ 1
-ЕЕ, + ячХ-Л +
п>0m~1
+ т^пх]п_тцт + тцХ-Л) +
+ Е Е т (Чп+т^пЧт - ККгПп + т) =
п>0т>0
-f ОО
П— 1
-ЕЕ [(2я - от) (К€-т\ + +
п>0т= I
+ OT№„-m4m + 4X-m^»)]- 0?
(13.2.4.1))
Квантование струны Намбу — Гото
171
Неоднозначность упорядочения возникает только для членов Ьо (отсюда появление <%о в первом слагаемом выражения для Q) и г|о. Но неоднозначность для второго члена может быть перенесена на величину ао и не дает ничего нового.
Первое условие на Q, а именно эрмитовость, очевидно, следует из выражения (13.2.4.1). Остается проверить нильпотентность.
Нильпотентность БРСТ-генератора нарушается по двум причинам. Во-первых, благодаря центральному заряду операторы Ln больше не образуют истинной алгебры. Во-вторых, духи тоже вносят аномальные члены. Действительно, антикоммутатор нс имеет нормального вида1). При
приведении его к нормальному виду возникает слагаемое, отсутствующее в классическом пределе:
[fХчс, чЛЪ] = - + НУ. (13.2.4.2)
Уравнение (13.2.4.2) после некоторых вычислений позволяет представить условие й2 = 0 в виде
а’=1Е["14-|)+»(ч-т+?)] <%¦ о3-2-4-3»
п >0
где аномальный вклад духов не зависит от размерности про-странства-времени и может быть получен из выражения
(13.2.4.3), если положить d = a0 = 0. Центральный заряд алгебры Вирасоро генерирует член, пропорциональный d, и существует еще, разумеется, вклад от а0.
Требование нильпотентности Q дает
d = 26, а0 = 1. (13.2.4.4)
Калибровочная инвариантность реализуется квантовомеханически только при критической размерности d = 26. При d?= 26 эта существенная особенность теряется. (Значение второго условия ао = 1 обсуждается ниже. К сожалению, оно предполагает наличие тахиона в спектре.)
Упражнения
1. Выведите выражение (13.2.4.3).
2. Какой была бы величина Q2, если использовать “антифо-ковское” представление для духов, основанное на вакууме,
‘) Легко видеть, что аномальные духовые члены возникают только из этого антикоммутатора (где т), обозначают и нулевые моды). Если нулевые моды подставить в уравнение (13.2.4.2), то символ НУ в этом случае будет обозначать антисимметричное упорядочение (и появится множитель 1/2 в аномальном члене).
172
Глава 13
уничтожаемом операторами f*m и g*m? Является ли это альтернативное представление априори столь же естественным, как то, которое использовано выше? Обсудите этот вопрос.
3. Введите снова в теорию неконформно-инвариантные степени свободы gn, их импульсы и импульсы, сопряженные функциям N и N1. Запишите соответствующий БРСТ-генератор. Докажите, что новая часть в выражении для ?2 не дает вклада в аномалию.
4. Выведите критическую размерность для замкнутой струны (d = 26!). Что такое а0? (Для любого Lo осо = 1; в альтернативных случаях ао [L0 + L0) = 2, ао [Lo — L° = 0.)
13.2.5. Критическая размерность на искривленном фоне
БРСТ-методы могут быть применены также к моделям на искривленном фоне (разд. 13.2.6). В действительности для вычисления критической размерности БРСТ-методом нужна лишь алгебра генераторов Ln\ их явный вид несуществен.
БРСТ-оператор по-прежнему задается выражением (13.2.4.1), где Ln — соответствующие генераторы Вирасоро искривленных моделей.
Следовательно, аномальный вклад духов остается тем же самым. Единственное изменение в конечном ответе (13.2.4.3) заключается в замене d новым значением центрального заряда с. Поэтому нильпотентность Q приводит к условиям
d+ (^TT*fi = 26 для SU(N)’ (13-2-5Ла)
±N(N- 1)|/< | d+ ]K\ + N_2 =26 для SO(N). (13.2.5.16)
Заметим, что критическая размерность d пространства Мин-ковского, вычисленная из системы уравнений (13.2.5.1), не является целой и положительной для всех значений N и К. Следовательно, для таких значений N я К соотношения (13.2.5.1) не могут удовлетворяться. Это обстоятельство делает еще более замечательным полученный выше результат для плоского пространства (13.2.4.4), поскольку аномальные члены можно устранить путем подбора параметра, который должен принимать целые положительные значения.
13.2.6. Физическое подпространство
Физическое подпространство определяется соотношением
?21 ф) = 0. (13.2.6.1).
Квантование струны. Набу—Гото
173
Мы хотим охарактеризовать решения этого уравнения. Для этого, следуя работе Като и Огавы [19], мы вводим два новых эрмитовых оператора, играющих важную роль, поскольку они коммутируют с Q. Первый оператор задается выражением
