Принципы теории струн - Бринк Л.
Скачать (прямая ссылка):
Особенно интересен оператор L, который сводится в бозонном секторе к “оператору уровня” N, задаваемому формулой
ниже он встретится нам снова. Оператор L фактически является БРСТ-инвариантным расширением оператора N и может быть представлен в виде
где Nf и N8 — операторы уровня для духовых мод / и g соответственно. (Вследствие необычных антикоммутационных соотношений [g-„, g;]= -1 в выражении N8 = — ?„>0 ng*ngn появляется знак минус.) Оператор L может быть диагоналмзован и обладает положительными собственными значениями.
Оператор импульса рА также коммутирует с Q, L и Af:
Эти свойства позволяют исследовать решения уравнения
(13.2.6.1), диагонализующие одновременно L и рА1). Их собственные значения будут обозначаться одинаковыми буквами.
') Жорданова форма оператора М не является травиальной, и мы не считаем М диагональным.
а второй
М = 2 Z =
п >0
(13.2.6,3а)
Легко проверить, что L и М БРСТ-инвариантны:
[L, Q] = [Af, Q] = 0 (например, М ~ [г|°, Q]). Кроме того,
[L, М\ = 0.
(13.2.6.4)
(13.2.6.5)
N= Z па^лаАг-
о
(13.2.6.6)
L = N + Nf + Ne,
(13.2.6.7)
[рА, Q] = [рА, L] = [рА, Af] = 0. (13.2.6.8)
174 Глава 13
Теорема 1. Решения уравнения (13.2.6.1) при L Ф—а'р2+аь являются чисто калибровочными, т. е. могут быть представлены в виде
| -ф) = Q IX). (13.2.6.9)
Для доказательства теоремы заметим, что Q может быть представлен в виде
Q = Q + (а'р2 + L — ао) л° - М&0, (13.2.6.10)
где оператор Й не содержит нулевых духовых мод г)° и ^V, его явный вид легко получить из выражения (13.2.4.1). Заметим, что Q, г)° и также коммутируют с L и рА.
Примем, что L ф—а'р2 + ао. Представим состояние |f) в виде |i|j> — |а>+ | Ь)ц°, где |а> и | Ь} — состояния, не содержащие нулевых духовых мод. Поскольку а'р2 + L — ао Ф 0, можно добавить к | ф> состояние Q|%>, чтобы получить |й> = 0. Например, выберем |х> = — {а'р2 + L — L — а0)-1 | Ь). При |Ь> = 0 БРСТ-условие (13.2.6.1) на |ч|)> имеет вид
Q | а) = 0, (а'р2 + L — а0) | а) = 0,
откуда следует, что |а> = 0, как и утверждалось.
Эта теорема позволяет рассматривать только случай, когда
а'р2 + L — а0 = 0, (13.2.6.11)
к которому мы теперь и переходим *).
Если соотношение (13.2.6.11) выполняется, то оператор ?2 становится нильпотентным, и БРСТ-уравнение (13.2.6.1) с
[ у) = | а) + | Ь) л0 (13.2.6.12)
принимает вид
Q|6) = 0, Q |а) — М |6) — 0. (13.2.6.13)
Ниже мы будем рассматривать только состояния, не зависящие от нулевых мод, такие как |а> и | Ь}, если не оговорено противное.
Теорема 2. а. Общее решение уравнения ?2|&>=0 может быть записано в виде
I &> = I I0)дух + Q I с), (13.2.6.14)
где |0)дУх обозначает вакуум духов (для ненулевых мод), ____________ 10>дух = 10)дух = 0, (13.2.6.15)
*) Путем подходящего лоренцева вращения можно получить р1 = 0 (не равны нулю только р+ и р~), но это не столь необходимо здесь. Мы также везде считаем, что /г4 Ф 0. “Инфракрасный” случай рА = 0 является исключением и легко исследуется, поэтому он здесь не рассматривается.
Квантование струны. Набу—Гото
175
а |Р>— чисто бозонное состояние (существующее в гильбертовом пространстве а осцилляторов).
б. Кроме тощУ|Р) удовлетворяет условиям
Ln\P) = 0, я > 0, (13.2.6.16)
(L0-a0)IP) = 0. (13.2.6.17)
Доказательство, а. См. статью Като и Огавы [19], которые фактически доказали более сильный вариант соотношения (13.2.6.14), в котором утверждается, что состояние |Р> может быть выбрано чисто поперечным; см. разд. 13.4. Идея их доказательства намечена в приложении А.
б. Поскольку первая часть теоремы доказана, условие
(13.2.6.17) становится очевидным, так как в выражении для | Ь) (13.2.6.14) можно выбрать вектор )с> принадлежащим подпространству а'р2-{-Ь — ао = 0 {а'р2 + L — а0 коммутирует с Й). Следовательно, состояние |Р>|0>дух также аннигилируется оператором a'p2-\-L — ао, что сразу приводит к уравнению
(13.2.6.17), так как для вакуума духов Nf = Ng = 0.
Что касается условий (13.2.6.16), то они просто следуют из БРСТ-ограничения Я |Р> |0)ДУх = 0. Последнее сводится к соотношению
Е/л1р>1°),„ = °
и, следовательно, эквивалентно соотношению (13.2.6.16), поскольку все состояния rj* | 0)дух являются независимыми.
Теорема 3. Общее решение уравнения ?2|т|5>=0 может быть записано в виде
I Ф> = I Pi) 10)дух + I Р2) ] 0)дух г)° + Q | %), (13.2.6.18)