Принципы теории струн - Бринк Л.
Скачать (прямая ссылка):
где |Pi) и |Р2> —чисто бозонные состояния, удовлетворяющие условиям
Ln I Pi) — (^о — а0) | Р,) = 0 (п > 0), (13.2.6.19а)
Ln\P2) = (L,-aQ)\P2) = 0 (п> 0). (13.2.6.196)
Доказательство. Из теоремы 2 следует, что можно привести коэффициент при т]° в |г|з) к требуемому виду (Q|c>)r|° = = й |%> + члены, которые меняют лишь | а), где |%>=|с>т]0. Но тогда Л1 ] 6>= 0, и из соотношений (13.2.6.13) следует fi|a)=0. Повторное применение теоремы 2 приводит к соотношению
I а) = | Р,) 10)дух + Q | с') = | Pi) 10>дух + Q | с')
176
Глава 13
(здесь Q|c')=Q|c'>, где |с'> не имеет составляющей вдоль rj° и уничтожается оператором a'p2-\-L — ао). Это демонстрирует справедливость решения (13.2.6.18).
Действуя на выражение (13.2.6.18) оператором Q и используя условие a'p2 + L — ао = 0, получаем условия (13.2.6.19).
Теорема 3 интересна тем, что она полностью соотносит БРСТ-физические состояния с физическими состояниями (13.2.6.19) ковариантного подхода, рассмотренного в разд. 13.4. Мы видим, что вследствие вырождения нулевых духовых мод БРСТ-физических состояний оказывается вдвое больше, чем физических состояний в ковариантном подходе1). Аналогичное явление (удвоение состояний в БРСТ-подходе) недавно было обнаружено в другом контексте [34].
Заметим, наконец, что квантовое “калибровочное условие”, требующее состояния уничтожения [ ф) духовыми осцилляторами, не вполне фиксирует БРСТ-калибровку. Можно еще добавлять к |г|)> состояния вида ?2|%>, не содержащие духов. Эти состояния являются теми знаменитыми нулевыми состояниями, которые встречаются в ковариантном подходе. Следовательно, их отщепление можно объяснить с помощью БРСТ-симметрии (примеры таких нулевых состояний приведены в упражнениях).
Упражнения
1а. Рассмотрите состояние | R)| 0)дух = [ %), где L„|/?>=0, п ^ 0. Вычислите Q | х>- Выведите, что состояние Z—11 /?> 10>ДУх является нулевым.
16. Докажите, что состояние Z—i [ /?> 10>дуХ'П0 уничтожается БРСТ-оператором и имеет нулевые скалярные произведения со всеми остальными физическими состояниями. Это означает, что оно равно Й|х> Для некоторого |%>. Указание: такое состояние может быть записано так же, как в выражении (13.2.6.18) с чисто поперечными состояниями |Pi> и |Р2>, которые должны быть равны нулю вследствие свойств скалярного произведения СОСТОЯНИЯ Z—1 | | 0>дух11О-
1в. Покажите, что состояние li?)*)* равно ?2|%> для некоторого |х>.
*) Решение (13.2.6.18) является самым лучшим, которое можно построить, если состояния |Pi> и \Ръ> поперечны, т. е. |Pi) или |Рг> нельзя устранить калибровкой, поскольку в общем случае эти состояния неортогональны всем остальным физическим состояниям и, следовательно, не являются тем, что назвают “нулевыми” состояниями. В разд. 13.2.7 доказано, что в случае открытой струны удвоение (13.2.6.18) в действительности является фиктивным и возникает вследствие неудачного определения линейного пространства состояний |ij>).
Квантование струны Намбу — Гото
177
1г. Покажите, что состояние | R0) ту[ | 0) не удовлетворяет уравнению ?21ф>=0, если 1 /?°> 10>дух — физическое состояние (существует трудность с членом т]0). Поэтому | R} должно удовлетворять соотношению Lo|P> = О, а не L0\R} = R.
2. Во что превращается выражение (13.2.6.18) в случае замкнутой струны? Покажите, что в этом случае существует “двойное удвоение”.
13.2.7. Замечания по поводу удвоения
Одна из главных причин применения БРСТ-методов заключается в преимуществе использования (псевдо) гильбертова пространства, в котором все переменные, включая духи и чисто калибровочные степени свободы, реализуются на равных основаниях как эрмитовы операторы. Одно из условий согласованности формализма состоит в принадлежности решений уравнения й|ф>=0 этому гильбертову пространству.
Как мы показали, соответствующее гильбертово пространство является прямым произведением (бозонного и фермион-ного) фоковского пространства осцилляторов на гильбертово пространство нулевых мод Хо, Ра, г|0, ^0. Скалярное произведение определяется как
("Ф 11) = \ d26p dx\° (т|> (р, т)°)|г|ф, rf)), (13.2.7.1)
где (г)з(р, Л0) |'Ф(Р> II0)) — внутреннее произведение в пространстве Фока. (В представлении (р,ц°) состояние |if> описывается функцией "ф (р, г)°) со значениями в фоковском пространстве.)
Для состояний с определенным импульсом (13.2.6.18) интеграл ^ d26p расходится. Способ разрешения этой проблемы хорошо известен: рассматривают просто подходящие волновые пакеты с различными рА. Но вследствие нулевой связи (L0 —
— 1) | Ру = 0 (условие массовой поверхности) можно складывать только плоские волны с определенной массой. Таким образом, в скалярном произведении состояний, принадлежащих одному массовому уровню, при интегрировании по всем массам, содержащимся в уравнении (13.2.7.1), возникает бесконечный множитель 6(0).
Следовательно, нужно что-то сделать, чтобы получить удовлетворительную теорию: уравнение (13.2.7.1) должно иметь смысл для состояний, удовлетворяющих уравнению Q|i|)>=0. Мы должны также учесть удвоение БРСТ-состояний, обнаруженное в предыдущем разделе. Этот вопрос связан с регуляризацией уравнения (13.2.7.1).
