Принципы теории струн - Бринк Л.
Скачать (прямая ссылка):
Оператор числа духов, хотя и является антиэрмитовым, тем не менее обладает вещественными собственными значениями. Это означает, что все его собственные состояния, исключая, возможно, состояния с нулевым собственным значением (если такие существуют), должны иметь нулевую или плохо определенную форму.
Благодаря присутствию нулевой моды в выражении (13.2.8.7) все собственные значения являются полуцелыми2). Это явление известно как «дробление числа духов» [19].
*) Как было показано f31], любая калибровочно-инвариантная классическая наблюдаемая обладает БРСТ-инвариантным расширением, для которого выполняется уравнение (13.2.8.6). Но обратное может быть и неверно: существуют “БРСТ-наблюдаемые”, удовлетворяющие уравнению (13.2.8.6) и не имеющие классического аналога при учете вырождения типа (13.2.6.18) [34].
2) При том же выборе постоянной в выражении (13.2.8.4), что и в соотношении (13.2.8.5).
Квантование струны Намбу — Гото
183
13.2.8в. Конформная инвариантность в квантовой теории
При критической размерности d — 26 БРСТ-инвариантные расширения связей
L“ = [Q, ^п] = Ln + вклад духов (13.2.8.8)
замыкаются в соответствии с конформной алгеброй без центрального заряда [35]:
№, ll] = (га - m) Ln+m. (13.2.8.9)
Это означает, что преобразования, генерируемые при коммутировании величинами L%, образуют представление конформной группы.
Это прекрасно соответствует нашей интуиции, поскольку мы знаем, что нильпотентность Q, имеющая место только при d=26, эквивалентна калибровочной инвариантности на квантовом уровне. Кроме того, из выражения (13.2.8.8) видно, что операторы Ln при действии на физические состояния порождают нулевые состояния:
Ю -> Ю + I 'Ф) = 1г|>) + e"Q^„ | ф) | -ф), (13.2.8.10)
так что “калибровочная группа” действует тривиально на классах эквивалентности физических состояний. Таким образом, квантовая теория является калибровочно-инвариантной и в этом более традиционном смысле.
Соотношением (13.2.8.10) можно воспользоваться для наложения “калибровочного условия” в квантовой теории, например потребовать, чтобы представитель |г|)> каждого класса эквивалентности удовлетворял калибровочному условию светового конуса (г|э |а+ | г|з) = 0 (см. ниже).
Следует помнить, однако, что соотношение (13.2.8.10) описывает лишь подмножество всех калибровочных преобразований квантовой теории
|ф)^Н) + 0|Х) (13.2.8.11)
(где |%>— произвольное состояние, зависящее от | ф)). С этой точки зрения соотношение (13.2.8.11) является более фундаментальным, чем соотношение (13.2.8.10).
Легко видеть, что для физических состояний, удовлетворяющих “БРСТ-калибровочному условию”
л™ I Ч>> = I Ч>) — 0 (га> 0), (13.2.8.12)
половина всех преобразований (13.2.8.10) сводится к тождественным, а именно преобразования, генерируемые при
184
Глава 13
п > 0. Что касается остальных преобразований, то они действуют на состояние |if> нетривиально, хотя, конечно, порождают лишь нулевые состояния и в общем случае не сохраняют условия (13.2.8.12).
В некоторых других калибровочных теориях все калибровочные преобразования, аналогичные (13.2.8.10), сводятся к тождественным. Но соотношение (13.2.8.11) все же играет существенную нетривиальную роль. Поэтому мы полагаем, что более уместно сосредоточить внимание на соотношении (13.2.8.11) и на всем аппарате БРСТ-формализма, чем лишь на одном соотношении (13.2.8.10).
Упражнение
а. Вычислите точно L^.
б. Определите Ln|i|>) для физических состояний (13.2.6.18).
в. Коммутирует ли L® с оператором числа духов?
13.3. Квантование в калибровке светового конуса
13.3.1. Пуанкаре-инвариантность квантовой теории
В калибровке светового конуса гильбертово пространство квантовых состояний является действительно гильбертовым, не имеющим состояний с отрицательной нормой. Калибровка полностью фиксирована до квантования, и все состояния являются физическими (исключая случай замкнутой струны, см. разд. 13.3.3).
Не очевидна и, как выясняется, имеет место лишь при критической размерности пуанкаре-инвариантность квантовой теории !).
Генераторы Пуанкаре в калибровке светового конуса нелинейны, поэтому их алгебра содержит ^-числовую аномалию, исчезающую при следующих условиях:
d = 26, а0 = 1. (13.3.1.1)
В результате получаются те же условия, что и при других способах квантования. Это свидетельствует в пользу метода калибровки светового конуса (световой калибровки), который, хотя и весьма практичен, является все же, по мнению автора, менее фундаментальным, чем другие методы. Неясно, например, что может заменить требование пуанкаре-инвариантности, воз-
¦) Можно использовать явную положительную определенность физического подпространства вместо явной пуанкаре-инвариантности. Они эквивалентны при критической размерности, когда можно наложить калибровку светового конуса даже квантовомеханически.
