Принципы теории струн - Бринк Л.
Скачать (прямая ссылка):
Квантование струны Намбу — Гото
185
никающее в методе световой калибровки, в искривленном пространстве, не обладающем изометрией. Кроме того, световое калибровочное условие есть каноническая калибровка для калибровочной симметрии, отличной от внутренней (репараметриза-ционная инвариантность). Априори не очевидно, что оно может быть наложено квантовомеханически, хотя в случаях бозонной и фермионной струн, как уже было отмечено, это условие все же может быть реализовано.
Классические генераторы Пуанкаре в световой калибровке получены в разд. 12.5.6 (выражения (12.5.6.1) и (12.5.6.2)). Мы определяем соответствующие квантовые операторы, принимая нормальное упорядочение для осцилляторных переменных и симметричное упорядочение для пар (X, р). Мы также учитываем пока еще не определенную константу а0 в выражении для Lq.
На этом этапе следует сделать два замечания:
1. Фактически истинной неоднозначности упорядочения в генераторах Пуанкаре не возникает, исключая член с а0, если потребовать, чтобы эти операторы были эрмитовыми.
2. В выражениях для Р~ и М‘~ нужно использовать то же значение ао, чтобы выполнялось условие [Р\ М‘~) = 1
Легко проверить, что алгебра Пуанкаре реализуется квантовыми операторами Пуанкаре, за исключением, возможно, коммутатора
[М1~, М}~\ =0. (13.3.1.2)
Все остальное находится в нормально упорядоченной форме. Таким образом, ключевой вопрос состоит в следующем: выполняется ли соотношение (13.3.1.2)?
Для вычисления [М1~, Mi-] можно снова использовать классические расчеты, которые показывают, что коммутатор [М1~, М>-) в классическом пределе равен нулю, и сосредоточить внимание на аномальных членах.
Потенциально опасны следующие члены:
1. Вклад, пропорциональный ао, отсутствующий в классическом случае.
2. Члены, возникающие при нормальном упорядочении Lo [-Хо, 2я>о ап Ln + L-nQn\-
3. Вклады, являющиеся результатом нормального упорядочения коммутаторов кубических членов [а
-nU,
\a-nLXn, L-m, ат] и т. д.
Явное вычисление дает для [Ml~, Mi~] выражение
T(P+W Е К+-^г («2 -!) - «2] к ч - «;Ч)- (13-3-1 -3>
п >0
186
Глава 13
Это выражение обращается в нуль только в том случае, если выполнены условия (13.3.1.1), как и утверждалось. Если эти условия не выполнены, квантовая теория не является пуанкаре-инвариантной.
13.3.2. Описание спектра
Спектр струны состоит из бесконечного числа состояний, лежащих на линейно растущих “траекториях Редже”. Эти траектории дают “спин” состояний в зависимости от квадрата их массы:
7 = а'М2 + «отсекаемый отрезок». (13.3.2.1)
Первая траектория, для которой отсекаемый на оси ординат отрезок (интерсепт) равен +1, называется “основной траекторией” (рис. 13.1). Остальные траектории называются “дочерними”.
Это можно представить себе следующим образом. Вследствие пуанкаре-инвариантности квантовой теории состояния распадаются на неприводимые представления группы Пуанкаре. Состояния характеризуются:
1) массой,
2) представлением малой группы, к которой они принадлежат; соответствующей малой группой является 50 (d—1) = = 50(25) для массивных состояний и SO (24) для безмассовых состояний.
Масса задается соотношением
а'М2 = - а'РАРА = N - ар, (13.3.2.2)
где “номер уровня” N определяется выражением
N- I па1л%п. (13.3.2.3)
п >0
Легко проверить, что N коммутирует со всеми генераторами Пуанкаре. Различные состояния, принадлежащие одному и
Рис. 13.1. Используя четырехмерное представление и понятие “спина”, можно показать, что состояния бозонной струны ложатся на линейно растущие
траектории Редже.
Квантование струны Намбу — Гото
187
тому же представлению группы Пуанкаре, имеют одинаковый номер уровня.
Определение “спина” состояния немного более сложно. Поперечными индексами являются, очевидно, векторные 50(24)-индексы. Для безмассовых состояний первого возбужденного уровня N = 1 представление 50(24) определяется непосредственно. В случае массивных состояний оказывается, что различные 50 (24)-тензоры объединяются с образованием неприводимого представления 50(25).
Первое состояние является основным состоянием, уничтожаемым всеми осцилляторами:
N = 0, | 0), а'М2 = — 1. (13.3.2.4)
Интерсепт ао равен единице, так что это скалярный тахион, что является недостатком бозонной модели.
Первое возбужденное состояние N — 1 есть безмассовый поперечный вектор (спин 1 — “фотон”):
JV — 1, а\* | 0), а'М2 = 0, 24 состояния. (13.3.2.5)
Так как при N=1 мы имеем только 24 состояния (а не 25, как требовалось бы в случае массивной малой группы), фактически мы могли бы догадаться, что эти состояния являются безмассовыми в том случае, когда лоренцева инвариантность реализуется на квантовом уровне. Но если первые возбужденные состояния обладают нулевой массой, основное состояние
