Принципы теории струн - Бринк Л.
Скачать (прямая ссылка):
может быть только тахионом. Отсюда понятно, почему мы нашли, что «о=1.
Следующие состояния отвечают значению N = 2; мы имеем
N = 2, а‘* 10), а'Л12=1, 24 состояния;
а\*а[* | 0), а'М2 = 1, 300 состояний. (13.3.2.6)
Они объединяются с образованием массивного представления группы Пуанкаре, отвечающего спину 2 (бесследовый симметричный тензор 25X25 = 324 состояния).
Следующие состояния при N = 3:
N = 3, 4*|0), а'М2 = 2;
a;‘al> |0>, а'М2 = 2; (13.3.2.7)
а\ 1а\ ’а\ к | 0), а'М2 = 2.
Соответствующее массивное представление группы Пуанкаре уже не является приводимым. Получаем одно представление со “спином 3” и два со “спином 1”: при N = 3 начинаются
188
Глава 13
новые “дочерние” траектории (заметим, что на рис. 13.1 имеются “дыры”).
Аналогично производится анализ для высших уровней. Следует упомянуть два пункта. Во-первых, количество состояний экспоненциально растет с увеличением номера N [9]. Во-вторых, состояния полностью определяются не одними осциллятор-ными числами заполнения, но также, конечно, их импульсами р1 и р+. Зная р1' и р+, можно вычислить р~. Результирующая компонента р° может быть как положительной, так и отрицательной, поэтому одновременно присутствуют состояния Х°, движущиеся по времени Минковского вперед (частицы), и состояния, движущиеся вспять (античастицы). Такие состояния обыкновенно идентифицируются для струны без дополнительных квантовых чисел.
13.3.3. Замкнутая струна — пуанкаре-инвариантность
Замкнутая струна рассматривается так же, единственной новой чертой является присутствие (одной) новой связи
(Lo — Lo) | if) = (./V — ЛО | я|з) = 0 (13.3.3.1)
на физические состояния1). Здесь JV(JV)—номер уровня для право (лево) бегущих мод:
N=Z nCVCni, (13.3.3.2а)
П
N=Z nCVCni. (13.3.3.26)
п
Выше мы подробно обсудили тот факт, что связь (13.3.3.1) отражает наличие остаточной калибровочной инвариантности в калибровке светового конуса (постоянные трансляции по о).
Проверка алгебры Пуанкаре снова проводится непосредственно, если исключить [М‘~, М1'-]. Оказывается, что [М‘~, М!~] отличается от “слабо исчезающего” оператора (т. е. оператора, в котором разность Lo — L0 стоит справа и который уничтожает физические состояния) аномальным членом. Этот член равен нулю только в том случае, если
d = 26, (13.3.3.3а)
а0 = 2 (замкнутая струна), (13.3.3.36)
где а0 обозначает неоднозначность упорядочения в сумме Lo + Lo-
_!) Мы считаем, что неоднозначность упорядочения в L0 такая же, как в Lo. Фактически' это предположение не является независимым, оно следует из требования слабого равенства нулю величины [М1~, М<~\
Квантование струны Намбу —Гото
189
13.3.4. Спектр (замкнутая струна)
Для замкнутой струны массовое уравнение имеет вид
1-М2 = N -\- N — 2 (13.3.4.1)
(см. гл. 12). Наклон траекторий Редже составляет половину
соответствующего значения для открытой струны. Кроме того,
физические состояния должны быть такими, что
N = N. (13.3.4.2)
Основное состояние является вакуумом и опять соответствует тахиону. Первые возбужденные состояния соответствуют N = = N= 1:
N = N = 1, Ci *с\ * | 0). (13.3.4.3)
Они имеют нулевую массу, как это и должно быть, поскольку в противном случае мы имели бы недостаточно состояний для заполнения представлений SO (25).
Состояния (13.3.4.3) распадаются на бесследовую симметричную часть (спин 2, “гравитон” gAs), антисимметричную часть (поле 2-формы Вав) и скаляр (спин 0, дилатон ф). Примечательно, что в отсутствие условия N = N = 1 можно создать векторные состояния в качестве первых возбужденных состояний. Соответственно из условия репараметризадионной инвариантности (13.3.4.2) следует, что первое возбужденное состояние является безмассовым “гравитоном” со спином 2.
Следующие состояния массивны и исследуются так же, как в случае открытой струны.
Весь спектр разбивается на часть, симметричную при замене с ч->- с право- и левобегущих мод, и на антисимметричную часть. Замена с -<-+ с может быть получена изменением ст на —ст.
Симметричное усечение (“замкнутые струны типа I”) соответствует модели “Шапиро—Вирасоро” и не несет ст-ориентации, поскольку остается неизменным при замене ст на —ст. Полный спектр (“замкнутые струны типа II”) соответствует “расширенной модели Шапиро — Вирасоро” и описывает ориентированные струны, поскольку теперь преобразование а->—а уже не тривиально действует на состояния (подробнее см. работу [36]). Оказывается, что усечения до одного лишь антисимметричного сектора, согласующегося с включением взаимодействий, не существует.
