Принципы теории струн - Бринк Л.
Скачать (прямая ссылка):
— гп) Р2 (Хо) = 0, функция %(Хо) расходится на временипо-добной бесконечности, как и ожидалось (резонанс).
По этой причине соответствующее состояние |%> ненорми-руемо даже после регуляризации скалярного произведения. (Соответственно состояние ?2|%> не является в действительности нулевым состоянием и не отщепляется. Как мы видели, |Р2>Т1° имеет ненулевые скалярные произведения с другими физическими состояниями.) Строго говоря, мы не можем рассматривать состояние [%>• Но наводит на некоторые мысли тот факт, что нет никаких дифференциальных или топологических препятствий к тому, чтобы записать ]P2)ri0 как Q|x> (этому препятствуют лишь возражения, касающиеся скалярного произведения, которые не имеют под собой серьезной основы).
Согласно настоящему рассмотрению, операторы нулевых мод Хо, рл, У] и следует считать линейными операторами, действующими в некотором “большем” линейном пространстве без скалярного произведения. Это пространство должно включать функции от Jo, расходящиеся при Хо—>оо. В таком пространстве общее решение уравнения Q|ij)>=0 имеет вид |ф>=
— I-Р) |0)Дух + Q |х> без члена |Р2>. Тогда скалярное произведение определяется только для БРСТ-инвариантных состояний как <гИ1Р>= (РIР) Клейн—Гордон —Фок*
Упражнение
а. Исследуйте процедуру БРСТ-квантования для свободной релятивистской частицы. Покажите, что описанные выше проблемы появляются уже в этом простом случае.
б. Покажите, что с помощью примененных выше аргументов в случае замкнутой струны можно устранить лишь половину “двойного удвоения”.
Квантование струны Намбу — Гото
181
13.2.8. Разное
13.2.8а. Теорема об отсутствии духов в БРСТ-подходе
Теорема Като и Огавы показывает, что в разложении (13.2.6.18) бозонные состояния | и | Р2} фактически могут считаться “поперечными”: их “продольная” часть, если она вообще существует, может быть устранена путем добавления к [яр) подходящего состояния вида ?2|%>.
Поперечные состояния по определению являются состояниями, рождаемыми из вакуума операторами ДДФ. Эти операторы, которые будут строго определены ниже, соответствующим вирасоро-инвариантным способом обобщают операторы поперечных осцилляций а!п, и сводятся к ним в калибровке светового конуса. Они удовлетворяют тем же коммутационным соотношениям. В результате они порождают состояния только с положительной нормой.
Это означает, что нормы состояний |Pi> и |Р2) положительны. Следовательно, норма |i|)> может быть отрицательной только из-за нулевой духовой моды. Если с этой модой поступить так, как это было сделано в предыдущем разделе, величина будет положительной — все состояния с отрицательной нормой оказываются устраненными из физического подпространства (“теорема об отсутствии духов”). Квантовой теории можно придать вероятностную интерпретацию.
Это основанное на БРСТ-методах доказательство теоремы
об отсутствии духов кратко дано в приложении А. Показано, что оно является следствием квартетного механизма Куго и Од-зимы: фермионные духи сокращают изотропные колебательные моды, и остаются лишь моды поперечных колебаний.
Первоначальное доказательство теоремы об отсутствии духов приведено в разд. 13.4.
13.2.86. Оператор числа духов
Оператор числа духов Qc определяется следующим образом:
[A, QA = gh (А) А. (13.2.8.1)
Здесь gh^)— духовое число оператора А, определяемое уравнениями
gh(XA) = gh(&A) = 0, (13.2.8.2а)
gh(r)-L) = gh(T]I) = 1, (13.2.8.26)
gh(^J.) = gh(^1) = -l, (13.2.8.2в>
gh (AB) = gh (A) + gh (B), (13.2.8.2r)
gh (A + B) ~ gh (А), если gh(A) = gh(B). (13.2.8.2д)
182
Глава 13
Только духи имеют ненулевое духовое число. Согласно этим определениям, gh(Q) = +l,
[Q, QC] = Q. (13.2.8.3)
Коммутационные соотношения (13.2.8.1) определяют оператор Qc с точностью до произвольной постоянной:
Qc = — i^ {&L (от) л1- (о) + &\ (о) Л1 (о)) da + const, (13.2.8.4)
которая может быть выбрана так, чтобы оператор Qc был ан-тиэрмитовым:
Qc = ^ (°) T11 (°) ~ Tl'L (°) (СТ) +
+ &\ (ст) т)1 (ст) — л1 (ст) SPX (ст)] da. (13.2.8.5)
(В работе [31] постоянная в выражении (13.2.8.4) положена равной нулю. Такой выбор больше подходит к представлению, в котором q являются диагональными, в то время как форма
(13.2.8.5) больше приспособлена к фоковскому представлению.)
Интерес к оператору числа духов вызван тем, что физические наблюдаемые являются операторами с нулевым духовым числом, т. е. коммутируют с Qc1):
[A, Qc] = 0 (и [Л, Q] = 0). (13.2.8.6)
В осцилляторных переменных выражение (13.2.8.5) принимает вид
Qc = _ 1 (ло^о _ ^ ^ (т,Х - <?Х). (13.2.8.7)
п > 0
