Принципы теории струн - Бринк Л.
Скачать (прямая ссылка):
190
Глава 13
13.4. Ковариантное квантование
13.4.1. Устранение духов
как основной результат ковариантного подхода
Ковариантное квантование струны обладает интересными математическими приложениями. Кроме того, оно, по-видимому, является более гибким, чем другие методы, поскольку порождает согласованную теорию, по крайней мере на свободном уровне, для большего числа значений d и ао, чем только лишь d = 26 и а0=1. (Но значения d = 26 и ас = 1 выделены даже в ковариантном подходе.)
Выше мы подчеркивали невозможность наложения условий Вирасоро
Ln | ф) = 0, п*=г, (13.4.1.1)
для всех (положительных и отрицательных) значений л, имеющую своей причиной нетривиальный центральный заряд алгебры Вирасоро. Правильнее ослабить условия (13.4.1.1):
| -ф) = 0, я > 0, (13.4.1.2а)
(Lo-ao)l^) = 0, (13.4.1.26)
где а0 обозначает неоднозначность упорядочения в L0. Состояние |гр) становится теперь чисто бозонным состоянием, содержащим только моды аА (без цп или &п). Такое состояние обозначалось символом j Р) в БРСТ-разделе.
Ослабленное условие (13.4.1.2) важно как технически, так и концептуально. Оно существенно отклоняется от стандартных рецептов манипулирования со связями типа “закона Гаусса”, проистекающими из калибровочной инвариантности одного действия, в том, что оно затрагивает лишь “половину” из всех условий двумерной репараметризационной инвариантности в квантовой теории. Поэтому не очевидно, что теория, основанная на системе (13.4.1.2), есть квантовая теория геометрической репар а метризационно-инвариантной струны.
Оказывается, в ковариантном подходе также весьма тонким образом вновь восстанавливается полная репараметризационная инвариантность при критических значениях cl = 26 и ас = 1, снова вследствие присутствия нулевых физических состояний, которые могут быть отфакторизованы.
Но независимо от этих общих вопросов можно еще интересоваться условиями, при которых имеет смысл квантовая теория, определяемая системой (13.4.1.2). Квантовая теория будет иметь смысл, если условий (13.4.1.2) достаточно для исключения из физического подпространства всех состояний с отрица-
Квантование струны Намбу — Гото
191
тельной нормой. Такие состояния генерируются операторами
П
Следовательно, центральным вопросом ковариантного подхода является проблема устранения духов. Здесь термин “дух” конкретно относится к состояниям с отрицательной нормой, а не к духам БРСТ-подхода.
Структура подпространства, определяемого системой
(13.4.1.2), исследовалась в работах [18, 37], и были получены следующие выводы.
1. При d > 26 или а0 > 1 духи не устраняются полностью из физического подпространства.
2. При d = 26 и а0 = 1 справедлива теорема об отсутствии духов. Если аоф 1, духи не устраняются.
3. Наконец, при d ^ 25 и а0 ^ 1 духи в физическом подпространстве отсутствуют.
Полное доказательство этих результатов здесь воспроизводиться не будет. Оно может быть найдено в работе [37]. Мы лишь приводим ниже доказательство теоремы об отсутствии духов при d — 26 и а0=1, когда имеются особые отличительные черты (“квантовая калибровочная инвариантность”).
Как возникают критические значения d = 26 и а0= 1, можно приблизительно понять из следующих рассуждений.
Почему ао=1? Положим ао>1. Рассмотрим состояния первого уровня с JV= 1:
kAa;A\0, р), (13.4.1.3)
где k,\ — произвольный d-вектор. Условие массовой поверхности (L0~aQ)kAa;A\0, р> = 0 (13.4.1.4)
приводит к пространственноподобности d-импульса рА. Следовательно, состояния (13.4.1.3) на массовой поверхности являются тахионными при а0 > 1. Заметим далее, что в этом случае
единственным нетривиальным уравнением из (13.4.1.2а) оказывается уравнение для п= 1. Оно сводится к
kApA = 0. (13.4.1.5)
Вектор kA ортогонален рА, так что он может быть временипо-добным.
С другой стороны, состояния (13.4.1.3) имеют норму1) ___________ kAkA. (13.4.1.6)
') Как мы видели, норма в действительности бесконечна из-за определенной величины d-импульса. Чтобы сделать норму конечной, нужно рассматривать волновые пакеты (и отфакторизовать Ь(рлрА + т2)). Впоследствии мы систематически будем забывать проводить интегрирование по импульсам ¦в скалярном произведении.
192 Глава 13
Следовательно, для времениподобных векторов kA физические состояния (13.4.1.3) имеют отрицательную норму. Это означает, что при ао > 1 условия Вирасоро не устраняют из физического подпространства состояния с отрицательной нормой.
При ао = 1 вектор рА является нулевым, а вектор kA с необходимостью оказывается пространственноподобным или изотропным. Если kA = XpA, соответствующее физическое состояние отщепляется от остальных физических состояний, поэтому вектор kA эффективно имеет лишь п — 2 независимых компонент. Это согласуется с тем фактом, что состояния, отвечающие уровню с. N—1, оказываются безмассовыми; малой группой является 0(d — 2).
