Физика полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
s = A« + pg,’] (3.22)
где Л — модуль -упругости,
В общем случае произвольной деформации в кристалле произвольной симметрии вместо соотношения (3.21) мы получим линейное соотношение между компонентами рассматриваемых величин в виде
Здесь, как и всюду выше, индексы а, р, ц, v принимают значения х, у, z,' а по дважды встречающимся индексам подразумевается суммирование, Вместо единственной величины (5 теперь входит совокупность величин ра, ^v, образующих тензор'пьезоэлектрических модулей 3-го ранга; этот тензор симметричен по двум последним индексам: Ра, цу — Ра. vp,*
Аналогично, вместо (3.22) в общем случае справедливо соотношение
где Аар; ^ — совокупность компонент тензора упругости.
Отметим, что оба соотношения (3.2Г) и (3.22') взаимно связаны и в них входит один и тот же тензор пьезоэлектрических модулей Pa.nv Это становится понятным, если рассмотреть выражение для свободной энергии деформированного пьезоэлектрического кристалла, Если аг 0 есть свободная энергия недеформированного кристалла, то при наличии деформации к ней добавляются два слагаемых:
(3.21)
a — ®ap©p — 4nPai |ivWp.v
(3.21')
(3.22')
ЭНЕРГИЯ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ НОСИТЕЛЕЙ С ФОНОНАМИ
463
энергия механической деформации и энергия поляризованного диэлектрика в электрическом поле.. Записывая компоненты вектора поляризации в виде—Pa,ixvwixv. т, е, исходя из^соотношения (3.21'), мы имеем
^ + ~2 nvWapW|iV -f- Pa,|iv^|iv©a*
Так как компоненты механического напряжения определяются по формуле
Sflv==©7\s’
то отсюда и получается соотношение (3,22').
Число независимых компонент тензоров еар, |1V и Лар; tiv определяется симметрией кристалла. Рассмотрим кубические кристаллы типа цинковой обманки (к числу их относятся, например, соединения типа AUIBV). В них имеются три зеркально поворотные оси-симметрии четвертого порядка, которые мы и выберем в качестве осей координат. Тогда ([М13], ,§§ 13, 17) мы имеем случай (3.21): тензор еар вырождается в скаляр ебаР, а пьезоэлектрический тензор имеет лишь одну независимую компоненту
Р*,4iz = Pz,xy = Pt,,zx = P; P;.,nv = 0 При ц=Д или v = X. (3.23)
Вернемся теперь к задаче о рассеянии,
В рассматриваемом случае оператор энергии взаимодействия носителей заряда с фононами имеет вид
Н'пъезо — — бф. (3.24)
Здесь верхний знак относится к дыркам, а нижний —* к электронам;
через ф обозначен потенциал пьезоэлектрического поля, связанный с напряженностью поля S обычным равенством
S = -V9. (3.25)
Пусть р есть плотность объемного заряда, Тогда, пользуясь уравнением Пуассона
div Я) = 4яр и соотношением (3.2Г), можем написать
-**<>¦ <3-2б>
В рассматриваемом нами технологически однородном кристалле локальная нейтральность может быть нарушена только за счет пространственного перераспределения свободных носителей заряда в поле пьезоэлектрической волны. Последнее есть не что иное, как экранирование пьезоэлектрического поля. При не слишком большой концентрации свободных носителей заряда этот эффект
464 РАССЕЯНИЕ НОСИТЕЛЕЙ В НЕИДЕАЛЬНОЙ РЕШЕТКЕ [ГЛ. XIV
не играет роли и правую часть уравнения (3.26) можно заменить нулем.
Ограничимся рассмотрением пьезоэлектрических колебаний акустических ветвей. Тогда согласно (XII.5.18) в предельном случае длинных волн мы получим
q s=l
X {(?n?v + ?v<7.u) ь (q, s) elv - (?*?у. + Kft) b* (q, s) e~‘v}. (3.27) Представим потенциал ф в виде разложения
<р (г) = 2 Е (Ф^е''чг + Фч^~‘'чг). (3.23)
q s = 1
Подставляя выражения (3.27) и (3.28) в уравнение (3.26) (при р = 0), находим
Ф(Ч> S)=-e5L>(^v + U,)4q, (3'29)
Специализируем это выражение на случай кристаллов типа AI!IBV, когда справедливы равенства (3.23).
Обозначим через в и ф полярные, углы вектора q относительно оси Z и введем функцию
f (0, ф) = ?.* sin 20 • sin ф + ?у sin 20 • совф + С* sin2 0 • sin 2ф. (3.30)
Тогда равенство (3.29) (с учетом (3.23)) принимает вид
Ф(Ч, s) = —M f(0, ф) & (q, s) [2;v^(q, J'"’- (3-29')
Подставляя это выражение в (3.24), мы получаем
н, _ _ 4яре у у Г П у/.
ппьезо--+- е ^ ^ 2MGw (q, s)J А
X {f (9, ф)&^, s)e^r + f*(B, ф)fe*(q, s)e~{v}. (3.31)
Легко написать и выражение для гамильтониана взаимодействия
носителей заряда с пьезоэлектрическими колебаниями оптических ветвей. Для этой цели надо лишь подставить в общую формулу (XII.5.19) выражения для (q, s), вытекающие из соотношений (XII.2.19) и (XIГ.3.7) при q = 0.
