Физика полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
q
Здесь принято во внимание, что для продольных волн (снабженных индексом s = 1) (q, ? (q, 1)) = q.
*) Выражение (3.1) было использовано в 1935 г. Титейкой в одной задаче теории металлов. В теорию полупроводников оно было введено независимо М. Ф. Дейгеном и С. И. Пекаром, и Дж. Бардином и В. Шокли.
455
РАССЕЯНИЕ НОСИТЕЛЕЙ В НЕИДЕАЛЬНОЙ РЕШЕТКЕ ГГЛ. XIV
Величина div Q, фигурирующая в правой части (3.1), имеет простой геометрический смысл. Как показывается в механике сплошных сред, при малых деформациях
div Q = 4г"‘ (3.4)
Здесь V0 — некоторый объем в недеформированном кристалле (в качестве V0 можно выбрать, например, объем элементарной ячейки), ДV — его изменение при деформации, описываемой вектором Q. Таким образом, div Q есть относительное изменение объема при малой деформации.
Равенство (3.4) позволяет грубо оценить порядок величины .константы Ег. Действительно, изменение энергии электрона или дырки Н' можно интерпретировать как смещение границы соответствующей зоны при деформации *). Экстраполируя формулы
(3.1), (3.2) на случай не малых деформаций, видим, что Ех есть, по порядку величины, сдвиг границы зоны при AV = V0, т. е. при изменении объема элементарной ячейки в два раза. Очевидно, это должна быть энергия порядка энергии электрона во внешней атомной оболочке, т. е. |?2| ~ 1 -4- 10 эВ. При этом знаки Е1С и Elv в принципе могут быть любыми: в зависимости от природы кристалла дно зоны проводимости и потолок валентной зоны могут, независимо друг от друга, как подниматься, так и опускаться при сжатии (и, соответственно, опускаться или подниматься при расширении).
Согласно (3.1) и (3.4) колебания решетки, не связанные с изменением объема элементарной ячейки, не меняют энергии носителей заряда и, следовательно, не вызывают рассеяния их. Само выражение (3.1), однако, не вытекает однозначно из поставленных выше условий. Скаляр наиболее общего вида, линейно выражающийся через первые производные вектора смещения по координатам, представляет собой линейную форму
з
(3-5)
5=1
Как показано в Приложении XI, величины Еа$ (s) образую! симметричный тензор 2-го ранга (вообще говоря, свой для каждой ветви колебаний решетки). По этой причине формулу (3.5) можно переписать в виде
Я'к= 2 Eaz(s)uaz(s), (3.51
S — 1
*) В рассматриваемом случае неоднородной деформации это смещение зависит от координат, что и приводит к рассеянию.
ЭНЕРГИЯ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ НОСИТЕЛЕЙ С ФОНОНАМИ
457
1 fdQa t>Q3\ д.
где ыар (s) — у Пцр + -fa—J — компоненты тензора деформации.
Формула (3.1) есть частный случай (3.5), когда тензор Ea$(s) вырождается в скаляр:
Еа$ = Ejba$. (3.6)
Зависимость от номера ветви при этом становится несущественной, поскольку все равно во взаимодействии с электронами участвуют только продольные фононы (s = 1). Заметим, однако, что формула (3.6), вообще говоря, несправедлива даже в кубическом кристалле и для точного расчета надо пользоваться общим выражением (3.5'). Благодаря условиям кристаллографической симметрии не все компоненты тензора ?ар независимы, но Есе же число параметров, подлежащих определению из опыта, здесь больше, чем в изотропном случае (3.6). Так, в «.-Ge и «.-Si их два (см. Приложение XI).
Утверждение об исключительной роли продольных фононов в случае (3.5) уже не имеет места. Действительно, вместо (3.3) мы получаем теперь на основании (ХП.'5.18)
з ____________________
= 1 У W<to(q s) s)e*»r-&*(q,
s=i q (3.7)
Фигурирующая здесь сумма
вообще говоря, не обращается в нуль при ? J_ q. Соответственно поперечные акустические колебания решетки также дают вклад в рассеяние носителей заряда в анизотропном случае (3.5) (Приложение XI)..
Обратимся теперь к кристаллам со сложной структурой элементарной ячейки (r> 1). Сформулированные выше общие условия, которым должен удовлетворять гамильтониан взаимодействия Н', остаются в силе и здесь. Отсюда следует, что энергия взаимодействия электрона с длинноволновыми акустическими фононами и в этом случае дается формулой (3.1) или ее анизотропным обобщением (3.5). В кристаллах с центром симметрии (к"-числу их принадлежат, германий и кремний) остаются в силе и явные формулы (3.3) или (3.7).
в. Взаимодействие носителей заряда с оптическими фононами в гомеополярном кристалле; метод потенциала деформации. Согласно § XII.3 при длинноволновых оптических колебаниях центр тяжести элементарной ячейки почти не смещается. Соответственно здесь нет необходимости требовать, чтобы гамильтониан взаимодействия электронов-с оптическими фононами выражался непременно через производные от компонент вектора смещения по координатам. Допустимым может оказаться и выражение, содержащее сам
