Физика полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Положение, однако, значительно упрощается в случае, типичном для задачи о рассеянии. Именно, из дальнейшего (§ 4) будет
454
РАССЕЯНИЕ НОСИТЕЛЕЙ В НЕИДЕАЛЬНОЙ РЕШЕТКЕ [ГЛ. "XIV
видно, что главную роль в рассеянии носителей заряда играют фононы со сравнительно малыми квазиволновыми векторами: длины волн «существенных» фононов оказываются примерно такими же, как у электронов, т. е. значительно больше постоянной решетки. Как всегда в подобных случаях, имеются в виду длины волн большинства электронов (в невырожденной системе — порядка 2пН/У mkT). Приняв это во внимание и пользуясь некоторыми соображениями общего характера, мы можем—не решая указанную выше задачу динамики — написать явное выражение для оператора Я', содержащее лишь небольшое число экспериментально определяемых параметров.
б. Взаимодействие носителей заряда с акустическими фононами', метод потенциала деформации. Рассмотрим сначала одноатомный кристалл (г = 1).
Заметим прежде всего, что оператор Я' должен быть скаляром. Далее, он отличен от нуля, лишь если атомы решетки смещены из положений равновесия. Иначе говоря, оператор Я' должен обращаться в нуль вместе с вектором смещения. Рассматривая, как и в гл. XII, случай малых колебаний, мы можем ограничиться линейной зависимостью Я' от векторов Q (g, h) или от их производных *). Наконец, надо принять во внимание, что при сдвиге или повороте всего кристалла как. целого энергия электронов не меняется. Такому сдвигу соответствует смещение всех атомов решетки строго в одной фазе. Оператор Я' в указанных условиях должен обращаться в нуль. В рассматриваемых сейчас одноатомных кристаллах возможны, как мы знаем, только акустические колебания решетки. При этом синфазному движению атомов соответствует бесконечно большая длина волны, т. е., согласно (XII.4.5), вектор смещения, не зависящий от координат, г. Отсюда следует,- что оператор Я' должен выражаться не через сам вектор смещения, а Через производные от него по координатам—при сдвиге кристалла как целого эти производные обращаются в нуль. Иначе говоря, важно не смещение атомов само по себе, а деформация решетки, при этом возникающая.
Интересуясь только длинноволновыми акустическими фононами, мы можем ограничиться первыми производными по координатам. Действительно, из формулы (XI 1.4.5) явствует, что каждое дифференцирование Q по координатам дает множитель q.
Итак, оператор Я' представляет собой скаляр, линейно зависящий от первых производных вектора смещения Q по координатам.
*) В гл. XII при разложении потенциальной энергии решетки в ряд по степеням смещений надо было взять квадратичные члены, ибо линейные обращались в нуль по условию минимума. В данном случае оператор Я' никакими экстремальными свойствами относительно смещений, вообще говоря, не обладает и ли-пейные члены в нуль обращаться не обязаны.
ЭНЕРГИЯ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ НОСИТЕЛЕЙ С ФОНОНАМИ
45S
Простейшее выражение такого типа имеет вид
Н'ЯК = Е1 divQ, (3.1)
где Ег — некоторая постоянная. В принципе ее можно было бы вычислить, решая задачу механики об изменении энергии электрона при плавной периодической (с периодом волны) деформации решетки. Проще, однако, рассматривать Ех как параметр теории, подлежащий определению из опыта (подобно, например, эффективной массе или ширине запрещенной зоны). Значения Et для электронов проводимости и для дырок, вообще говоря, различны. Соответственно мы имеем здесь не один, а два параметра, Е1с и Elv, относящиеся, соответственно, к зоне проводимости и к валентной зоне.
Выражение (3.1) называется потенциалом деформации, а параметр Ег— константой потенциала деформации (иногда слово «константа» опускают, относя термин «потенциал деформации» не только к правой части (3.1), но и к параметру Ег) *). Формула такого же типа описывает и изменение энергии носителя заряда при однородной статической деформации, возникающей, например, при сжатии или растяжении кристалла. Однако параметры, входящие в это последнее выражение, вообще говоря, не совпадают с Е1с и Elv. Действительно, длина акустической волны хотя и велика по сравнению с постоянной решетки, но все же конечна, т. е. деформация, создаваемая акустической волной, всегда неоднородна.
Подставим в (3.1) выражение (XII.5.18) для вектора смещения при q -v 0. Согласно (XII.2.13) при этом вектор ? оказывается вещественным. Согласно (XII.2.19') он еще и единичен. Таким образом,
Яак = 2 2 ^ 2Mw (q, s) x
4 x {b (q, s) е(чг — b* (q, s) e-w}. (3.2)
В рассматриваемом случае длинных акустических волн имеет смысл разделение колебаний на поперечные и продольные. Из формулы (3.2) явствует, что в рамках принятых предположений-только продольные волны (s = 1) дают вклад в изменение энергии электрона: при ? (q, s) _Lq соответствующие слагаемые в (3.2) обращаются в нуль. Следовательно,
«.= ,?>2 ч V 2*10 *(,; I)- !)<*'-6* (ч. 1) «-“¦')• (3-3)
