Физика полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
458
РАССЕЯНИЕ НОСИТЕЛЕЙ В НЕИДЕАЛЬНОЙ РЕШЕТКЕ [ГЛ. XIV
вектор смещения:
Яопт= 2 A(s)Q,. (3.8)
s ^ 4
Здесь A (s) — некоторый вектор, зависящий, вообще говоря, от номера ветви s; компоненты его должны выражаться через величины, характеризующие зонную структуру носителей заряда в соответствующей идеальной решетке. Нижний предел суммирования s = 4 напоминает, что речь идет только об оптических фононах.
Формула (3.8) оправдана, если условия симметрии электронных (дырочных) изоэнергетических поверхностей допускают существование отличного от нуля вектора А. Очевидно, для этого необходимо, чтобы некоторые направления в зоне Бриллюэна были физически выделены. Так обстоит дело, например, если минимум энергии лежит не в центре зоны Бриллюэна (таких точек минимума может быть несколько): в этом случае выделены направления, параллельные радиус-векторам, соединяющим точки минимума с точкой р = 0. Это необходимее условие, однако, еще не является достаточным. Достаточные условия, при которых гамильтониан Н' можно записать в виде (3.8), можно получить, лишь исследуя всю совокупность соотношений симметрии, характеризующих поверхности постоянной энергии. Анализ показывает, что для электронов проводимости в германии такая задись возможна, а в кремнии A (s) = 0 *).
При A (s) = 0 в правую часть (3.8) надо включить слагаемые с производными типа (3.5). Разумеется, их можно было бы написать
и при А Ф 0; однако в этом случае их роль была бы относительно
невелика, поскольку здесь существенны только длинные волны.
Интересуясь электронами вблизи данного минимума, мы можем записать вектор А в виде
А = п?0, (3.9)
где п — единичный вектор вдоль оси, идущей из центра зоны Бриллюэна в рассматриваемый минимум, а Е0 — некоторая постоянная (размерности энергии, деленной на длину). Более общая форма (аналогичная переходу от (3.1) к (3.5)) имеет вид
Ла = ?$лр, (3.9')
где Eaf, — компоненты некоторого тензора. Очевидно, формула (3.9) получается из (3.9'), если этот тензор вырождается в скаляр.
Подставляя выражение (XII.5.19) в правую часть (3.8), находим окончательный вид гамильтониана взаимодействия электронов с оптическими фононами в гомеополярном кристалле:
Яопт = 22 ^ п^а [жою (q, s) ]> 2 {6 W* S) e‘V + b* (Ч- S) е~гЧГЬ
S3*4 q ’ (3.10)
*) Доказательство этого утверждения можно найти, например, в книге [2].
ЭНЕРГИЯ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ НОСИТЕЛЕЙ С ФОНОНАМИ
459
Для кубических кристаллов величину Е0 (или компоненты Е$) иногда пишут в виде произведения Е0Ь (или, соответственно, 3$$), где b — абсолютная величина вектора обратной решетки, а S (ЕаР) — новая постоянная размерности энергии. Ее называют константой оптического потенциала деформации.
г. Взаимодействие носителей заряда с оптическими фононами в гетерополярном кристалле. В гетерополярном полупроводнике атомы решетки обладают отличными от нуля эффективными зарядами. В результате оптические колебания решетки сопровождаются колебаниями дипольного момента, т. е. колебаниями вектора поляризации среды *). Это приводит к изменению энергии электрона (по сравнению с покоящейся решеткой), не связанному непосредственно с потенциалом деформации. Для длинных волн это изменение энергии легко вычислить с помощью законов электростатики. Пусть изменение дипольного момента элементарной ячейки при смещении атомов из положения равновесия есть d. Соответствующий вектор поляризации О1, очевидно, равен
где V0 — объем элементарной ячейки (для краткости мы говорим просто «вектор поляризации» вместо «изменение вектора поляризации»).
Как известно из электростатики, наличие поляризации fp означает, что в решетке имеется связанный заряд с объемной плотностью
р =— div fp. (3.12)
Этот заряд создает электрическое поле, потенциал которого ф определяется из уравнения Пуассона
У2<р _ — 4 яр(
или, принимая во внимание равенства (3.11) и (3.12), из уравнения
V^^divd. (3.13)
Найдя отсюда ср, получим гамильтониан взаимодействия носителя заряда с поляризационными фононами:
Н'В0Л = ±е Ф. (3.14)
Для вычисления d надо специализировать природу кристалла. Мы рассмотрим кристалл кубической системы, элементарная ячейка которого содержит два атома различной химической природы, К такому типу относятся, например, щелочно-галоидные кристаллы (NaCl, КС1 и др.), кристаллы типа CsCl, а также соедине-
*) По этой причине колебания рассматриваемого типа иногда называют поляризационными.
460 РАССЕЯНИЕ НОСИТЕЛЕЙ В НЕИДЕАЛЬНОЙ РЕШЕТКЕ [ГЛ. XIV
ния типа AU1BV — InSb, GaAs и др. Эффективные заряды атомов той и другой природы обозначим, соответственно, через 1е и —Ze. Число Z может быть и не целым, если химическая связь в'рассматриваемом кристалле — не чисто ионная (гл. II). Очевидно,
