Физика полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
*) Разумеется, тот же самый результат получится, если вместо В вычислить член «приход» А.
452
РАССЕЯНИЕ НОСИТЕЛЕЙ В НЕИДЕАЛЬНОЙ РЕШЕТКЕ [ГЛ. XIV
Пользуясь формулами (2.15) и (2.19),. следует помнить, что при их выводе было сделано одно важное предположение. Именно, переходя от (2.14) к (2.15), мы совершили предельный переход t -*¦ оо. Однако фактически время t, в течение которого могут быть справедливы равенства (2.11) и (2.14), ограничено. Действительно, в первом приближении теории возмущений не учитываются повторные акты рассеяния. Но таковые с большой вероятностью должны произойти спустя время порядка времени свободного пробега т. Таким образом, должно выполняться неравенство
t <т. (2.20)
Как можно показать *), неравенство jnna (2.20) не связано обязательно с использованием теории возмущений в принятой выше форме. Оно всегда появляется, коль скоро мы вообще имеем дело с кинетическим уравнением. Это обстоятельство очень существенно, ибо равенство (2.15) получено из (2.14) формальным предельным переходом t -> оо. Физически это означает, что величина t должна значительно превышать характерное время, определяющее динамику столкновения. Чтобы понять, что это за время, запишем аргумент синуса в правой части (2.14) в виде
Е К *
?
При -^-'/^>1 этот аргумент становится, вообще говоря, очень большим и, соответственно, синус, а с ним и вся правая часть (2.14), рассматриваемая как функция Ех-, быстро осциллирует. Поэтому вклад ее в интеграл по р\ фигурирующий в кинетическом уравнении, будет очень мал. Исключение составляет случай, когда отно-
| ^ ^ j J ^ __ ^ I ^
шение ---¦—— достаточно мало: -—^-=—— В пределе
Е Е Et
при t -> оо это и дает условие сохранения энергии, выражаемое 6-функцией в формуле (2.15).
Таким образом, выражение «/-> оо» фактически означает неравенство
t>hlE. (2.21)
Чтобы теория была последовательной, это неравенство не должно противоречить. (2.20). Следовательно, время релаксации должно быть достаточно большим:
т^П/kT (2.22а)
— в случае невырожденного электронного газа и
т>Й/? (2.226)
*) См. сборник [1] (статьи №№ 5, 6), а также конец настоящего параграфа.
§ а] ЭНЕРГИЯ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ НОСИТЕЛЕЙ С ФОНОНАМИ 453
— в случае газа, полностью Еырсждснвого (в случае полностью вырожденного дырочного газа знаменатель праЕОЙ части (2.226) следует заменить на ¦—— ?).
Подчеркнем, что отказаться от условия (2.21) (и, следовательно, от (2.22а, б)) нельзя: без пего воебще гельзя было бы ввести представление о не зависящей от вреьени вероятности перехода
(2.15), и стационарная поста;:оека задачи, принятая нами в предыдущей главе (и hi вязанная опьтсм), потеряла бы смысл. Иначе говоря, неравенства (2.22а, б) составляют сснсвнсе условие применимости кинетического уравнения. Вычислив для какого-нибудь механизма рассеяния время [елаксации, мы должны затем проверить, удовлетворяется ли это условие. Только если оно удовлетворяется, результат имеет смысл и может быть использован для дальнейшего вычисления кинетических коэффициентов. В противном случае вся постановка задачи нуждается в пересмотре: энергию взаимодействия носителей заряда с соответствующими рассеивателями надо принимать во внимание уже при определении энергетического спектра системы.
Причину неизбежного появления неравенств (2.22а, б) в методе кинетического уравнения можно понять с помощью соотношения неопределенности между энергией и временем. При конечном времени наблюдения т неопределенность в разности энергий начального и конечного состояний—порядка Л/т. Чтобы ложно бы.'о, хотя бы приближенно, говорить о сохранении энергии при столкновении, эта неопределенность должна быть мала по сравнению с характерной энергией электрона. Отсюда сразу вытекают неравенства (2.22а, б). -
Во избежание недоразумений напомним, что Е-к и Е\> суть значения энергии невозмущенной системы. Точная энергия, которую надо было бы вычислять с учетом как Я0, так и энергии взаимодействия Я', сохраняется, конечно, точно.
Формула (2.19) сводит задачу о расчете времени релаксации к вычислению матричных элементов оператора Я'.
§ 3. Энергия взаимодействия носителей заряда с фононами
а. Общие соображения. По определению оператор Я' описывает изменение энергии носителя заряда при смещении атомов решетки из положений равновесия. Вычисление этой энергии составляет весьма сложную задачу — хотя бы потому, что атомы обладают конечными размерами и при смещении могут деформироваться. Для определения этой деформации и связанного с ней изменения силового поля надо было бы решить динамическую задачу многих тел.
