Физика полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Точное решение системы (2.8') связано с серьезными математическими трудностями. Приближеннее решение можно получить по методу возмущений. Именно, допустим, что энергия взаимодействия, описываемая оператором Я', достаточно мала. Тогда систему (2.8') можно решать итерациями, считая матричные элементы (А/ \1Г |Х") величинами первого порядка малости.
Рассмотрим сначала случай X' Ф X. Тогда в первом приближении в правую часть (2.8') можно подставить невозмущенные значения с\”. Последние, очевидно, совпадают с начальными значениями (2.9). Действительно, из вида системы (2.8') непосредственно следует, Что изменение коэффициентов с\> со временем обусловлено только наличием взаимодействия Я'. Таким образом,
450 РАССЕЯНИЕ НОСИТЕЛЕЙ В НЕИДЕАЛЬНОЙ РЕШЕТКЕ [ГЛ, XIV
при X' Ф X
ih = (X- | Н' | X) ехр (Е}/ - ?,.)]. (2.11)
Отсюда, с учетом (2.9), легко находим
Cv (f) =---------JA-g-----------L (X' | Я' | Я). (2.12)
Следовательно, вероятность обнаружить систему в момент времени t в состоянии X' есть
|]
J I /1' I И' I
о Г, !Е}-' 1
2 1 — cos (--^-----1
kv (0 [2= 1 (EX-E^f---------------- I & I Я' I I2- <2ЛЗ)
Подставляя (2.13) в левую часть равенства (2.7), можем найти \сх (/) |2 — вероятность того, что система останется в состоянии X, Дифференцируя соотношение (2.13) по /, получим вероятность перехода, отнесенную к единице времени:
Е'К‘ ~
d\ ci> (t) I2 2 sin ( * ^
-Чг1 -Т W-Дх 1(Г ,Я' 1Х) 12’ (2Л4)
Формулу (2.14) еще нельзя непосредственно использовать в кинетическом уравнении, ибо она относится к переходам между состояниями дискретного спектра: мы рассматривали компоненты 'квазиимпульса, равно как и компоненты квазиволнового вектора фонона, как дискретные величины. В то же время в кинетическом уравнении (XIII.3.12) речь идет о состояниях непрерывного спектра. Переход от дискретного спектра к непрерывному легко выполнить, замечая, что фактически мы всегда имеем дело с системами макроскопически больших размеров. Это позволяет упростить выражение (2.14) при больших t. Именно, согласно (ПЛУ.б) второй сомножитель в правой части (2.14) асимптотически при i-> оо превращается в 6-функцию, и мы получаем
d I л (t) I2 2я
-¦&— = -T i (*' I H' I *-) i2 6 • (2-15)
Таким образом, переходы происходят лишь между состояниями с одинаковой энергией: Е%— Е*.
Как уже. говорилось, величины с%> не обязательно характеризуют состояния только электрона: в зависимости от конкретных условий они могут относиться и к системе «электрон + фононы» или «электрон + электромагнитное поле световой волны» и т. д. С другой стороны, в интеграле столкновений фигурируют вели-
§ 2] ВЕРОЯТНОСТЬ ПЕРЕХОДА 451
чины e?\i2 (р, р'), определяющие вероятности данного электронного перехода безотносительно к тому, что делается, например, с фоно-
dI cv (О |2
нами. Чтобы получить их, надо просуммировать ——L по всем
«неэлектронным» квантовым числам, входящим в состав X' (например, по всем квазиволновым векторам фононов и по всем ветвям фононного спектра).
Обозначим, как и в гл. XII, совокупность чисел фононов во всех состояниях nf через п. Тогда X = {р, I, п} и отнесенная к единице времени вероятность электронного перехода будет
VI d \ с». O') I2
W(l, p; p') = 2 (2Л6>
n'
В задаче о рассеянии носителей заряда нас интересуют вероятности W при V = I. Величины ^ (р, р') и аР2 (р, рО отличаются от них только нцрмировочным множителем. Вид его легко найти, вычисляя, например, интеграл «ухода» В через коэффициенты с^ и сравнивая результат с формулой (XIII.3.8) *). Очевидно,
B = EW{1, р; /, Р')/(Р)[1-/(Р')] =
= (W $Ф'Г(/) Р; U Р,)/(Р)[1-/(Р')]. (2.17)
Мы воспользовались здесь правилом (П.Х.З). Функция распределения / относится, разумеется, к зоне номера / — единственной, с которой мы сейчас имеем дело.
Не следует удивляться тому, что в правой части (2.17) и далее явно фигурирует основной объем V. Он входит и в выражение для вероятности перехода W (например, через условие нормировки
(2.2)) и выпадает из окончательных выражений для наблюдаемых на опыте величин. Там, как мы увидим, вместо V будут фигурировать только такие величины, как концентрация примеси или объем элементарной ячейки.
Сравнивая формулы (2.17) и (XIII.3.8), получаем
^(Р, P’) = VW(1, р; /, р'), (2.18)
т. е. асимптотически при / оо
^2 (Р, Р')=V У1 (I, р’, П'\Н'\ I, р, П) I2 6 [Е (/, р', п') - Е (/, р, п)1 П Т (2.19)
В дальнейшем в этой главе мы будем для краткости опускать индекс I в формулах типа (2.18).
