Гравитационные волны в ОТО и проблема их обнаружения - Бичак И.
Скачать (прямая ссылка):
Другой метод решения (4.7), (4.9) исходит из предположения, что источники движутся медленно и эффекты запаздывания следует учитывать только приблизительно — это аппроксимацион-HbLe методы медленного движения, или постньютоновские методы, или квазистационарная аппроксимация. Предположим, что тела рассматриваемой системы движутся так медленно, что за время распространения света между наиболее удаленными телами положения всех тел меняются очень мало. При этом ожидается, что в близкой области вокруг излучающей системы запаздывающий интеграл можно заменить несколькими первыми членами разложения, зависящими только от мгновенных значений функций, описывающих отдельные тела.
Разложим подынтегральное выражение в (4.9) в ряд Тейлора вокруг «мгновенного» времени t:
---Л»v(t— |г—г'|, г') =
п
= JJ Iz-DL Iг—г' I"-1 ^v (r', t) + остаток. (4.13)
k=0
В согласии с [66] предположим, что все частные производные по времени до порядка п достаточно быстро убывают,
I dt А (г', П\ <f (г, t) |г—г'Г**3. (4.14)
Предполагается, что неравенство (4.14) справедливо для больших I г—г'I при некоторой функции f(г, t) и для всех f* таких, что t—Iг—r'\<&t*ct, т. е. между гиперповерхностями f' = t и прошлой частью светового конуса события (г, t). Такое предположение требуется, чтобы не расходились интегралы (4.9), в которых сделана подстановка (4.10). Эффективные источники (4.10) нелинейно зависят от метрики и уже после первой итерации привели бы к расходящимся интегралам. Действительно, если рассмотреть самое простое, сферически-симметричное запаздываю-
111 щее поле Ф = — ф(/—г/с) (в этом примере не кладем C=I) и
г
разложить его аналогично (4.13) (производные по времени обозначим точкой):
(4.15)
то появляются члены ~rky которые после подстановки в (4.10) в нелинейных членах (~у-у) приведут при итерациях к расходящимся интегралам для г-^оо. По этой причине приближенные методы медленного движения эффективны только в близкой зоне и не пригодны для изучения поля далеко от источника. Если ф(0 в (4.15) является осциллирующей функцией с характерной длиной волны X9
ф = a Sin(CtlX)9
то k-й член в разложении (4.15) будет ф~а(г/Х)к-2у т. е. будет малым для X. Постньютоновскими методами, следовательно,, нельзя пользоваться в волновой зоне Условия (4.14) ана-
логичны условиям (4.8), препятствующим существованию входящего излучения.
Если теперь подставить разложение (4.13) в (4.9), получим
п
Y^v (г, 0 = У1 Jk-1 + остаток, (4.16)
L^ k\
/2=0
где
УГі(г, 0 = J ^Ajav (г', t) |r—г' Ife-1^r'. (4.17)
Уравнения (4.16) и уравнения движения (4.2) (т. е. L^v = O), которые вследствие (4.10) и (4.6) эквивалентны уравнениям
Л^-О, (4.18)
являются исходными уравнениями в аппроксимации медленного движения. Из (4.18) можно выразить ^+2A00 с помощью (і, J = 1, 2, 3), как —д\Х\) и затем (4.17) проинтегриро-
вать по частям (в предположении, что dktXri достаточно быстро убывают). Тогда (4.16) приведет к следующим формулам [66] :
Y00 = Ja00 + л)
+
+ s^fe+v +{к~х) (4-19>
112 Y'0 = J-1 [A'0] + \ ]-Ы>-jk_x [д*Л'];
J Lu (fe—l)!(Jfe+l) J
k—\
n
Yi = /-1 [A'/J + ? i^fli- Л-1 [^A"];
k=\
где Л_і[/(г, О]= j/(r', О |r—r'l^-1 ср. (4.17);
A - Л"' (2*'—Xii) (2х*—jc'O I 2г—г' |-2,
A'= A"'(2*'-я'') I 2r—г'Г1
(остатки не выписываем).
Теперь уравнения (4.19) решаются итерациями, подобно тому как в случае пуанкаре-инвариантных аппроксимаций, т. е. положим Yjav = O, подставим только ненулевые значения из (4.14)
определим Yjav» подставим в правую часть, определим Yjav и т- Д* 1 2 При этом мы должны с помощью найденных Yjav решать
N
также уравнения движения в N-м порядке, так как Avv = O.
N'
В отличие от пуанкаре-инвариантных методов Y^v определяет-
n
ся посредством интегралов, содержащих параметры материи в тот же самый момент времени t.
Предположим, что источником служит идеальная жидкость с Pv= (р+р) U^LP+pg^, P=P (р), так что материя описывается по-
Ui dx1
средством четырех независимых величин, P и Vе ==-—==—-.
Следовательно, T^ зависит только от р, Vil yw. Предположим дальше, что жидкость приблизительно ньютоновская (см. обсуждение гл. 1 в связи с уравнениями (1.53) — (1.55), т. е. р<Ср, р~ (M/R)R~2<giR-2. Для того чтобы сделать оценки, положим
р -S2IR21 P^e4IR2i Vі~6, (4.20)
где, подобно оценкам для пуанкаре-инвариантных методов, г2 — М//?<1, характеризует «слабость» гравитирующей системы с типичными размерами R и массой М\ более того, теперь 6<С1 характеризует «медленность» системы. Для двойной звезды, например, (в размерных единицах)
т. Є. ж= 4, (4.21)
Г2 Г C2T C2
так что
е-б~с~\ (4.22)
на Поэтому большинство авторов, пользующихся аппроксимационны-ми методами медленного движения, предпочитают разложения только по er1. Предположение медленности движения также означает, что для какой-то величины А в близкой зоне имеет место
ІА~ТА- <4Я>
т. е. производная по времени увеличивает порядок переменной.
При этих предположениях после подстановки Y^v = 0 получаем
